An Algorithmic Classification of Generalized Pseudo-Anosov Homeomorphisms via Geometric Markov Partitions
Une Classification Algorithmique des Homéomorphismes Pseudo-Anosov Généralisés via les Partitions Géométriques de Markov
Résumé
This thesis aims to provide a classification of generalized pseudo-Anosov homeomorphisms up to topological conjugacy using an algorithmic approach. This entails obtaining finite and computable invariants for each conjugacy class.A Markov partition of a generalized pseudo-Anosov homeomorphism is a decomposition of the surface into a finite number of rectangles with disjoint interiors and such that their images intersect with any other rectangle in the Markov partition along a finite number of horizontal sub-rectangles. Every generalized pseudo-Anosov homeomorphism has a Markov partition, and, using the surface's orientation, we can endow any Markov partition with a geometrization. This process involves labeling the rectangles and choosing an orientation on the stable and unstable leaves of each of these rectangles.The geometric type of a geometric Markov partition was defined by Bonatti and Langevin in their book, "Difféomorphismes de Smale des surfaces," to classify saddle-type basic pieces for structurally stable diffeomorphisms on surfaces. A geometric type is an abstract combinatorial object that generalizes the incidence matrix of a Markov partition. It takes into account not only the number of times the image of a rectangle intersects with any other rectangle in the family but also the order and change of orientation induced by the homeomorphisms.This thesis employs the geometric type of a geometric Markov partition to classify the conjugacy classes of pseudo-Anosov homeomorphisms. Our main results can be summarized as follows:The geometric type is a complete invariant of conjugation: A pair of generalized pseudo-Anosov homeomorphisms is topologically conjugate to each other through an orientation-preserving homeomorphism if and only if they have geometric Markov partitions with the same geometric type.The realization: Geometric types are defined broadly, and not every abstract geometric type corresponds to a pseudo-Anosov homeomorphism. A geometric type T is considered part of the pseudo-Anosov class if there exists a generalized pseudo-Anosov homeomorphism with a geometric Markov partition of geometric type T. Our second result provides a computable and combinatorial criterion for determining whether an abstract geometric type belongs to the pseudo-Anosov class.Equivalent representations: Every generalized pseudo-Anosov homeomorphism has an infinite number of geometric Markov partitions with different geometric types. Our third result is an algorithm for determining whether two geometric types in the pseudo-Anosov class are realized by generalized pseudo-Anosov homeomorphisms that are topologically conjugated or not.
Cette thèse vise à fournir une classification des homéomorphismes pseudo-Anosov généralisés jusqu'à la conjugaison topologique en utilisant une approche algorithmique. Cela implique l'obtention d'invariants finis et calculables pour chaque classe de conjugaison.Une partition de Markov d'un homéomorphisme pseudo-Anosov généralisé est une décomposition de la surface en un nombre fini de rectangles avec des intérieurs disjoints, de telle manière que leurs images interagissent avec n'importe quel autre rectangle de la partition de Markov le long d'un nombre fini de sous-rectangles horizontaux. Chaque homéomorphisme pseudo-Anosov généralisé a une partition de Markov, et en utilisant l'orientation de la surface, nous pouvons doter toute partition de Markov d'une géométrisation. Ce processus implique d'étiqueter les rectangles et de choisir une orientation sur les feuilles stables et instables de chacun de ces rectangles.Le type géométrique d'une partition de Markov géométrique a été défini par Bonatti et Langevin dans leur livre "Difféomorphismes de Smale des surfaces" pour classer les pièces de base de type selle des difféomorphismes structurellement stables sur les surfaces. Un type géométrique est un objet combinatoire abstrait qui généralise la matrice d'incidence d'une partition de Markov. Il prend en compte non seulement le nombre de fois où l'image d'un rectangle interagit avec un autre rectangle de la famille, mais aussi l'ordre et le changement d'orientation induit par les homéomorphismes.Cette thèse utilise le type géométrique d'une partition de Markov géométrique pour classer les classes de conjugaison des homéomorphismes pseudo-Anosov. Nos principaux résultats peuvent être résumés comme suit :Le type géométrique est un invariant complet de la conjugaison : Une paire d'homéomorphismes pseudo-Anosov généralisés est topologiquement conjuguée l'un à l'autre à travers un homéomorphisme préservant l'orientation si et seulement si ils ont des partitions de Markov géométriques avec le même type géométrique.La réalisation : Les types géométriques sont définis de manière large, et chaque type géométrique abstrait ne correspond pas nécessairement à un homéomorphisme pseudo-Anosov. Un type géométrique T est considéré comme faisant partie de la classe pseudo-Anosov s'il existe un homéomorphisme pseudo-Anosov généralisé avec une partition de Markov géométrique de type T. Notre deuxième résultat fournit un critère calculable et combinatoire pour déterminer si un type géométrique abstrait appartient à la classe pseudo-Anosov.Représentations équivalentes : Chaque homéomorphisme pseudo-Anosov généralisé a un nombre infini de partitions de Markov géométriques avec différents types géométriques. Notre troisième résultat est un algorithme permettant de déterminer si deux types géométriques dans la classe pseudo-Anosov sont réalisés par des homéomorphismes pseudo-Anosov généralisés qui sont topologiquement conjugués ou non.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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