Functional inequalities in Littlewood-Paley-Stein theory and paraproducts of martingales - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Functional inequalities in Littlewood-Paley-Stein theory and paraproducts of martingales

Inégalités fonctionelles dans la theorie de Littlewood-Paley-Stein et paraproduits de martingales

Zhendong Xu
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1379921
  • IdRef : 276989201

Résumé

This thesis is devoted to the study of certain aspects of Littlewood-Paley-Stein theory and martingale theory in various contexts, particularly for vector-valued and non-commutative functions. It is composed of three parts. In the first part, we establish a pointwise equivalence between the Littlewood-Paley-Stein g-function and the square function of martingales. Our arguments are based on the construction of a specific symmetric diffusion semigroup associated with a martingale filtration. We also extend this equivalence to the vector-valued and noncommutative cases. Consequently, we determine the order of one of the best constants in the scalar Littlewood-Paley-Stein inequality. The second part focuses on the vector-valued scenario. We demonstrate the equivalence between the Lp norm (1 ≤ p < +∞) of the q-variant of vector-valued Lusin area integral and that of the Littlewood-Paley-Stein g-function of the semigroup whose generator satisfies certain conditions. The main tools used are vector-valued tent spaces and the intrinsic square function introduced by Wilson. In particular, we obtain the optimal order of the corresponding best constant in the Littlewood-Paley-Stein inequality in vector-valued Lp spaces where the underlying Banach space is of martingale type q (1 < q ≤ 2) for p tending to 1. The final part deals with the bilinear decomposition of pointwise multiplication of elements in the martingale Hardy space H1 and its dual space BMO. This continuous bilinear decomposition is extended to the martingale Hardy space Hp (0 < p < 1) and its dual space. Our decompositions rely on martingale paraproducts. Consequently, we obtain analogous results for dyadic martingales on spaces of homogeneous type through the construction of a dyadic system.
Cette thèse est consacrée à l'étude de certains aspects de la théorie de Littlewood-Paley-Stein et de celles des martingales dans différents contextes, notamment pour les fonctions à valeurs vectorielles et non commutatives. Elle se compose de trois parties. Dans la première, nous établissons une équivalence ponctuelle entre la g-fonction carrée de Littlewood-Paley-Stein et la fonction carrée de martingales. Nos arguments reposent sur la construction d'un semi-groupe de diffusion symétrique spécifique associé à une filtration de martingales. Nous étendons également cette équivalence aux cas vectoriel et non commutatif. En conséquence, nous déterminons l’ordre d’une des meilleures constantes dans l'inégalité de Littlewood-Paley-Stein scalaire. La deuxième partie se concentre sur le scénario à valeurs vectorielles. Nous montrons l'équivalence entre la norme Lp (1 ≤ p < +∞) entre la q-variante vectorielle de l'intégrale de Lusin et celle de la g-fonction de Littlewood-Paley-Stein du semi-groupe dont le générateurs est un opérateur sectoriel satisfaisant à certaines conditions. Les outils principaux sont les espaces de tente à valeurs vectorielles et la fonction carrée intrinsèque introduite par Wilson. En particulier, nous obtenons l’ordre optimal de la meilleure constante correspondante de l'inégalité de Littlewood-Paley-Stein dans Lp à valeurs vectorielles dans un espace de Banach de type q (1 < q ≤ 2) de martingale pour p tendant vers 1. La dernière partie porte sur la décomposition bilinéaire de la multiplication ponctuelle des éléments de l'espace de Hardy de martingales H1 et de son espace dual BMO. Cette décomposition bilinéaire continue est étendue à l'espace de Hardy de martingales Hp (0 < p < 1) et à son espace dual. Nos décompositions reposent sur les paraproduits de martingale. En conséquence, nous obtenons des résultats analogues pour les martingales dyadiques sur les espaces de type homogène grâce à la construction d’un système dyadique.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04565799 , version 1 (02-05-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04565799 , version 1

Citer

Zhendong Xu. Functional inequalities in Littlewood-Paley-Stein theory and paraproducts of martingales. Functional Analysis [math.FA]. Université Bourgogne Franche-Comté, 2023. English. ⟨NNT : 2023UBFCD050⟩. ⟨tel-04565799⟩
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