Functional and Shape Data Analysis under the Frenet-Serret Framework : Application to Sign Language Motion Trajectories Analysis
Analyse de Données Fonctionnelles et Analyse de Formes dans le cadre de Frenet-Serret : Application à l'Analyse de Trajectoires de Mouvement de Langue des Signes
Résumé
This thesis, conducted in collaboration with MocapLab, a company specializing in motion capture, aims to determine the optimal mathematical framework and relevant descriptors for analyzing sign language motion trajectories. Drawing on principles of motor control, we identified the framework defined by the Frenet-Serret formulas, including curvature, torsion, and velocity parameters, as particularly suitable for this task. By introducing new curve analysis approaches based on the Frenet framework, this thesis contributes to developing novel methods in functional data analysis and shape analysis. The first part of this thesis addresses the challenge of smoothly estimating Frenet curvature parameters, treating the problem as parameter estimation of differential equation in SO(d), (d ≥ 1). We introduce a functional Expectation-Maximization algorithm that defines a unified variable estimation method in the SE(3) group, providing smoother estimators that are more reliable and robust than existing methods. In the second part, two new curve representations are introduced: unparametrized Frenet curvatures and the Square Root Curvatures (SRC) transform, establishing new Riemannian geometric frameworks for smooth curves in ℝᵈ, (d ≥ 1). Leveraging higher-order geometric information and parametrization dependence, the Square Root Curvatures transform outperforms the state-of-the-art Square-Root Velocity Function (SRVF) representation on synthetic results. Given a collection of curves, this type of geometry allows us to define efficient statistical criteria for estimating Karcher mean shapes on the associated Riemannian shape spaces, proving particularly effective on noisy data. Finally, this developed framework opens the door to more practical applications in sign language processing, including the study of power laws on our data and the development of a generative model for a point motion in sign language.
Cette thèse, réalisée dans le cadre d'une collaboration avec MocapLab, une entreprise spécialisée en motion capture, vise à déterminer le cadre mathématique le plus adapté et des descripteurs pertinents pour l'analyse des trajectoires de mouvement en langue des signes. En nous appuyant sur les principes du contrôle moteur, nous avons identifié le cadre défini par les formules de Frenet-Serret, incluant les paramètres de courbure, torsion et vitesse, comme particulièrement pertinent pour cette tâche. Ainsi, en introduisant de nouvelles approches d'analyse de courbes basées sur le cadre de Frenet, cette thèse contribue au développement de nouvelles méthodes dans les domaines de l'analyse de données fonctionnelles et de l'analyse de forme. La première partie de ce travail aborde le défi de l'estimation lisse des paramètres de courbures de Frenet, en traitant le problème comme une estimation de paramètres d'une équation différentielle dans SO(d), (d ≥ 1). Nous introduisons un algorithme Expectation-Maximization fonctionnel qui définit une méthode d'estimation unifiée des variables dans le groupe SE(3), fournissant des estimateurs lisses, plus fiables et robustes que les méthodes existantes. Dans la deuxième partie, deux nouvelles représentations des courbes sont introduites : les courbures de Frenet non paramétrisées et la Square Root Curvatures (SRC) transform, établissant de nouveaux cadres géométriques riemanniens pour les courbes lisses dans ℝᵈ, (d ≥ 1). En utilisant les informations géométriques d'ordre supérieur et dépendant de la paramétrisation, la Square Root Curvatures transform surpasse la représentation state-of-the-art Square-Root Velocity Function (SRVF) sur des résultats synthétiques. Étant donné une collection de courbes, ce type de géométrie nous permet de définir des critères statistiques efficaces pour estimer les formes moyennes de Karcher sur les espaces de formes riemanniens associés, qui se révèlent particulièrement performants sur des données bruitées. Enfin, ce cadre développé ouvre la voie à des applications plus pratiques dans le traitement de la langue des signes, comprenant l'étude des lois puissances sur nos données et le développement d'un modèle génératif pour le mouvement d'un point en langue des signes.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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