Geometry of horospherical products
Géométrie des produits horosphériques
Résumé
In this manuscript we study the geometry of some metric spaces called horospherical product. They are constructed out of two Gromov hyperbolic spaces, and contains both discrete or continuous examples such as the Diestel-Leader graphs, the SOL geometry or the treebolic spaces.In the first part of this manuscript, we consider two proper, geodesically complete, Gromov hyperbolic, Busemann spaces X and Y. We construct their horospherical product Xbowtie Y and, after some metric estimations on specific paths in Gromov hyperbolic spaces, we describe a family of distances on Xbowtie Y. More specifically, we show that all these distances produce the same large scale geometry for Xbowtie Y. This description allows us to depict the shape of geodesic segments and geodesic lines. The understanding of the geodesics’ behaviour leads us to the characterization of the visual boundary of Xbowtie Y. For the second part, the two spaces X and Y are endowed with measures. Thanks to these measures, we manage to achieve the geometric rigidity of self quasi-isometries of Xbowtie Y. More specifically, we show that every self quasi-isometry Phi of Xbowtie Y is close to a product map (Phi^X,Phi^Y), where Phi^X:Xto X and Phi^Y:Yto Y are two quasi-isometries. To do so, we first develop several metric and measure theoretic tools regarding a specific family of geodesic called textit{vertical} geodesics. These tools include the textit{coarse differentiation}, introduced by Eskin, Fisher and Whyte for the horospherical product of regular infinite trees and hyperbolic planes. Afterwards, generalising techniques they presented, we obtain geometric rigidity.In the last chapter we present an example on how to use this geometric rigidity on Xbowtie Y in order to get informations on its quasi-isometry group. More precisely, we provide a description of the quasi-isometry group of a family of solvable Lie groups of the form mathbb{R}ltimes _{mathrm{Diag}(A_1,-A_2)}(N_1times N_2), where N_1, N_2 are nilpotent Lie groups and where A_1 and A_2 are matrices whose eigenvalues have all positive real parts.
Dans ce manuscrit, nous étudions la géométrie de certains espaces métriques appelés produits horosphériques. Ils sont construits à partir de deux espaces Gromov hyperboliques, et contiennent à le fois des exemples discrets tels que les graphes de Diestel-Leader, et des exemples continus tels que les géométries Sol. Dans la première partie de ce manuscrit, nous considérons deux espaces métriques propres, géodésiquement complets, Gromov hyperboliques et Busemann que l'on note X et Y. Nous construisons leur produit horosphérique Xbowtie Y puis, après plusieurs estimations de longueur sur certains chemins précis dans un espace Gromov hyperbolique, nous donnons une description d'une famille de distance sur Xbowtie Y. Plus précisément, nous montrons que ces distances donnent la même géométrie à grande échelle pour Xbowtie Y. La compréhension de ces distances nous permet de décrire la forme des segments et des lignes géodésiques. En utilisant la connaissance du comportement de ces géodésiques, nous somme en mesure de donner un caractérisation du bord visuel de Xbowtie Y. Pour la deuxième partie de ce manuscrit, les deux espaces X et Y doivent être tout deux munis d'une mesure. Grâce à celles-ci, nous parvenons à démontrer un résultat de rigidité géométrique des quasi-isométries de Xbowtie Y dans lui même. Plus précisément, nous montrons que toute quasi-isométrie Phi de Xbowtie Y est proche d'une application produit (Phi^X,Phi^Y), où Phi^X:Xto X et Phi^Y:Yto Y sont deux quasi-isométries. Pour obtenir ce résultat, nous développons en premier lieu en ensemble d'outils métriques et d'outils de mesure concernant une famille de géodésiques que l'on appel géodésiques textit{verticales}. Ces outils contiennent notamment la textit{différentiation grossière}, introduite par Eskin, Fisher et Whyte pour le produit horosphérique de d'arbres réguliers infinis et de plans hyperboliques. Puis, en généralisant les différentes techniques qu'ils ont développés, nous obtenons la rigidité géométrique souhaitée. Nous présentons dans le dernier chapitre un exemple d'application de cette rigidité géométrique, notamment pour obtenir des informations sur le groupe de quasi-isométries de Xbowtie Y. Plus précisément, nous donnons une description du groupe de quasi-isométrie d'un famille de groupes de Lie résolubles de la forme mathbb{R}ltimes _{mathrm{Diag}(A_1,-A_2)}(N_1times N_2), où N_1 et N_2 sont deux groupes de Lie nilpotents, et où A_1 et A_2 sont des matrices dont les valeurs propres ont toutes une partie réelle positive.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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