Cette thèse aborde deux sujets en physique mathématique : l'effet de la raquette de tennis et la monodromie hamiltonienne.Grâce à une exploration approfondie de la géométrie sous-jacente, nous fournissons une description mathématique complète de l'effet de la raquette de tennis, un phénomène géométrique observé dans les rotations libres de corps rigides. Nous examinons l'existence, l'origine et la robustesse de cet effet en utilisant la géométrie complexe et la géométrie réelle. Nous détectons également des signatures de contraintes physiques sur les moments d'inertie du corps, dans la structure géométrique de l'effet de la raquette de tennis. L'analyse est étendue à des phénomènes étroitement liés tels que l'effet Dhzanibekov, le monster flip et la phase de Montgomery.La deuxième partie de la thèse se concentre sur la monodromie Hamiltonienne, qui est l'obstruction topologique la plus simple à l'existence de coordonnées d'action-angles globales pour un système complètement intégrable. Nous montrons que l'utilisation de paires de Lax spectrales fournit une structure géométrique complexe qui permet l'étude de la monodromie Hamiltonienne et le calcul de la matrice de monodromie correspondante.Tout au long de ce travail de recherche, nous adoptons un cadre général qui utilise des feuilletages complexes pour fournir une structure géométrique aux problèmes posés, ce qui permet de mieux comprendre les phénomènes physiques correspondant.