Universal solutions of the reflection equation, the q-Onsager algebra and applications. - TEL - Thèses en ligne
Thèse Année : 2023

Universal solutions of the reflection equation, the q-Onsager algebra and applications.

Solutions universelles de l'équation de réflexion, l'algèbre q-Onsager et applications.

Guillaume Lemarthe

Résumé

The goal of this thesis is to develop a framework for obtaining spin-$j$ K-operators with spectral parameter and which are solutions to the reflection equation. They belong to $B \otimes \text{End}(\mathbb{C}^{2j+1})((u))$, where $B$ is a comodule algebra over a Hopf algebra $H$. From these K-operators, we derive universal TT-relations satisfied by universal tranfer matrices in the commutative subalgebra of $B$ they generate. The proposed new framework is specialized to $B=\mathcal{A}_q$, the central extension of the $q$-Onsager algebra, and $H=\mathcal{L} U_q sl_2$, the quantum loop algebra of $sl_2$, providing a universal approach to various quantum spin chains (spin-$j$, alternating spin-$j_1$, $j_2$, etc.) with generic open boundary conditions. The following three problems are studied and solved. Firstly, we introduce an axiomatic definition of a universal K-matrix $\mathfrak{K} \in B \otimes H$ satisfying a universal reflection equation. It requires the data of a pair of twists consisting of a twist $\psi$ (a certain automorphism of $H$) and a Drinfeld twist. This definition extends the work of Balagovi\'c-Kolb and Appel-Vlaar. For $H=\mathcal{L} U_q sl_2$ and a certain fixed pair of twists, we show that the evaluation of the tensor component in $H$ of $\mathfrak{K}$ at a formal (infinite-dimensional) evaluation representation of spin-$j$ leads to K-operators with spectral parameters ${\bf K}^{(j)}(u)$. Secondly, drawing inspiration from the evaluation of one of the axioms of the universal K-matrix and considering the tensor products of formal evaluation representations of $\mathcal{L} U_q sl_2$ in the cases where a spin-$j$ sub-representation appears, we introduce fused spin-$j$ K-operators $\mathcal{K}^{(j)}(u) \in \mathcal{A}_q \otimes \text{End}(\mathbb{C}^{2j+1})((u))$. These operators are constructed using $\mathcal{L} U_q sl_2$-intertwining operators. They are a spin-$j$ generalization of the spin-$1/2$ K-operator introduced by Baseilhac and Shigechi in 2009.We also show independently of this universal framework that all of these fused K-operators satisfy the reflection equations. Then, we conjecture a proportionality relation between $\mathcal{K}^{(j)}(u)$ and the evaluated universal K-matrix ${\bf K}^{(j)}(u)$. This conjecture is supported by showing that $\mathcal{K}^{(j)}(u)$ satisfies a set of relations similar to the evaluated axioms of $\mathfrak{K}$. Thirdly, a generating function for spin-$j$ (called universal transfer matrix) in the commutative subalgebra of $\mathcal{A}_q$ is obtained using the fused K-operators $\mathcal{K}^{(j)}(u)$ that we constructed. Provided that the conjecture relating ${\bf K}^{(j)}(u)$ and $\mathcal{K}^{(j)}(u)$ holds, we prove that these generating functions satisfy universal-TT relations which allow to reduce recursively the spectral problem of spin-$j$ to the one for spin-$1/2$. By specializing $\mathcal{A}_q$ to certain $N$-tensor product representations, we recover the transfer matrices of various spin chains along with the TT-relations they satisfy, and also find non-trivial symmetries for the corresponding hamiltonians.
L'objectif de cette thèse est de développer un cadre permettant d'obtenir des opérateurs K de spin-$j$ avec paramètre spectral, solutions de l'équation de réflexion et appartenant à $B \otimes \text{End}(\mathbb{C}^{2j+1})((u))$, où $B$ est une algèbre comodule sur une algèbre de Hopf $H$. A partir de ces opérateurs K, nous obtenons des relations-TT universelles satisfaites par des matrices de transfert universelles dans la sous-algèbre commutante de $B$ qu'ils génèrent. Ce nouveau cadre proposé est spécialisé à $B=\mathcal{A}_q$, l'extension centrale de l'algèbre $q$-Onsager, et $H=\mathcal{L} U_q sl_2$, l'algèbre quantique à boucle de $sl_2$, offrant une approche universelle à diverses chaînes de spins quantiques ouvertes (spin-$j$, spin-$j_1$,$j_2$ alternantes, ...) avec conditions aux bords génériques. Les trois problèmes suivants sont étudiés et résolus. Premièrement, nous introduisons une définition axiomatique d'une matrice K-universelle $\mathfrak{K} \in B \otimes H$ satisfaisant une équation de réflexion universelle. Elle requiert la donnée d'une paire de twist composée d'un twist $\psi$ (un certain automorphisme de $H$) et d'un twist de Drinfeld. Cette définition étend les travaux de Balagovi\'c-Kolb et Appel-Vlaar. Pour $H=\mathcal{L} U_q sl_2$ et une certaine paire de twist fixée, nous montrons que l'évaluation de la composante tensorielle $H$ de $\mathfrak{K}$ à une représentation d'évaluation formelle (de dimension infinie) de spin-$j$ mène à des opérateurs K avec paramètre spectral ${\bf K}^{(j)}(u)$. Deuxièmement, en nous inspirant de l'évaluation d'un des axiomes de la matrice K-universelle, et en considérant les produits tensoriels des représentations d'évaluation formelle de $\mathcal{L} U_q sl_2$ dans les cas où apparaissent une sous-représentation de spin-$j$, nous introduisons un opérateur K de spin-$j$ fusionné $\mathcal{K}^{(j)}(u) \in \mathcal{A}_q \otimes \text{End}(\mathbb{C}^{2j+1})((u))$. Ces derniers sont construits à l'aide d'opérateurs d'entrelacs de $\mathcal{L} U_q sl_2$. Ils sont une généralisation spin-$j$ de l'opérateur K de spin-$1/2$ introduit par Baseilhac et Shigechi en 2009. Nous montrons indépendamment du cadre universel, que toutes ces opérateurs K fusionnés satisfont les équations de réflexion. Ensuite, nous conjecturons une relation de proportionnalité entre $\mathcal{K}^{(j)}(u)$ et l'évaluation de la matrice K-universelle ${\bf K}^{(j)}(u)$. Elle est appuyée en montrant que $\mathcal{K}^{(j)}(u)$ vérifie un ensemble de relations similaires à l'évaluation des axiomes de $\mathfrak{K}$. Troisièmement, une fonction génératrice de spin-$j$ (appelée matrice de transfert universelle) dans la sous-algèbre commutante de $\mathcal{A}_q$ est obtenue grâce aux operateurs K fusionnés $\mathcal{K}^{(j)}(u)$ que nous avons construits. Sous réserve que la conjecture reliant ${\bf K}^{(j)}(u)$ et $\mathcal{K}^{(j)}(u)$ soit vraie, nous prouvons que ces fonction génératrices satisfont des relations-TT universelles qui permettent de réduire récursivement le problème spectral de spin-$j$ à celui de spin-$1/2$. En spécialisant $\mathcal{A}_q$ à certaines représentations de $N$ produits tensoriels, nous retrouvons les matrices de transfert de diverses chaines de spin ainsi que les relations-TT qu'elles satisfont, et aussi des symétries non triviales pour les hamiltoniens correspondants.
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Citer

Guillaume Lemarthe. Universal solutions of the reflection equation, the q-Onsager algebra and applications.. Mathematical Physics [math-ph]. Université de Tours, 2023. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04601310⟩
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