Boundary conditions for discrete Gaussian Markov fields : an operadic approach
Conditions aux bords pour les champs gaussiens markoviens discrets : une approche opéradique
Résumé
Markov chains reduce to linear algebra. Indeed, the laws of these one-dimensional fields are locally given by their transition matrices and their boundary conditions by vectors. In particular, one knows that the invariant measure associated to a Markov chain corresponds to the Perron-Frobenius eigenvector of its transition matrix. Such bridges between probability theory and algebra don’t exist in the literature for higher dimensional Markov fields. The work of D. Simon fills this gap by proposing an algebraic description of invariant boundary conditions associated to discrete Markov fields defined on the square lattice Z2 . This theory comes with new algebraic objects which have not been constructed on any non trivial model yet. In the present manuscript, the main objective is to exhibit and understand these structures in the particular case of Gaussian Markov fields on the lattice Z2 . By doing so, we give an algebraic description of invariant boundary conditions for such fields. This thesis is naturally divided into two parts. We start by focusing on one-dimensional Gaussian Markov fields on Z. We decompose invariant boundary conditions in a non trivial basis obtained from the precise study of a meromorphic and matrix-valued function Ψ. This brings a simple algorithm for computing explicitly the invariant boundary conditions. Moreover, under these boundary conditions, we show that we recover the values of classical quantities of interest, such as free energy or correlation function, generally computed using Fourier transform. As a little application, we give an "invariant" version of the Szegő’s limit theorem in the simple case of matrix-valued trigonometric polynomials. Secondly, in a join work with Damien Simon, we study the case of Gaussian Markov fields on the square lattice Z2 and exhibit new objects and boundary structures for Gaussian fields. It is the very first non trivial example for the theory introduced by D. Simon. To do so, we give new tools, missing in the theory. These approaches are based on classical tools from statistical mechanics and Gaussian calculus but also from original methods. For instance, we adapt the so-called transfer matrix, a one-dimensional object, to produce all the two-dimensional objects introduced by D. Simon. In this context, operadic constructions of D. Simon are given by Schur complements on quadratic forms spaces. We show that these objects verify "eigenvector-type" equations up to an operadic morphism. This ensures that, once being combined, they produce the desired invariant boundary associated to our Gaussian fields.
Les chaînes de Markov ont le bon goût de se réduire à de l’algèbre linéaire. En effet, les lois de ces champs unidimensionnels sont localement données par leurs matrices de transition et leurs conditions aux bords par des vecteurs. La mesure invariante d’une chaîne de Markov correspond au vecteur propre de Perron-Frobenius de sa matrice de transition. De tels ponts entre probabilités et algèbre n’existent pas dans la littérature pour les champs markoviens en plus grandes dimensions. Les récents travaux de D. Simon comblent ce manque et proposent une description algébrique des bords invariants pour les champs markoviens discrets sur le réseau carré Z2 . Cette théorie s’accompagne d’objets algébriques nouveaux, encore peu compris et qui n’ont pas encore été mis en évidence dans le cadre d’une application non triviale. Dans ce manuscrit, l’objectif est d’exhiber et de comprendre ces structures dans le cas particulier des champs gaussiens markoviens sur le réseau carré Z2 . Ce faisant, nous donnons une description algébrique des bords invariants pour de tels champs, qui constituent la brique de base de nombreux modèles en théorie des champs, motivant ainsi le présent travail. Ce manuscrit est naturellement divisé en deux parties. Dans un premier temps, nous nous intéressons au cas unidimensionnel des champs gaussiens markoviens sur Z. Nous décomposons les conditions aux bords invariantes dans une base non triviale issue de l’étude précise des singularités d’une fonction méromorphe Ψ à valeurs matricielles. Cet apport s’accompagne d’un algorithme simple permettant le calcul explicite des conditions aux bords invariantes. Nous en profitons pour montrer que, sous ces conditions aux bords, nous retrouvons les quantités d’intérêt habituellement calculées par transformée de Fourier (énergie libre, fonction de corrélation et autres). Par ailleurs, nous appliquons nos résultats pour obtenir une version "invariante" du théorème limite de Szegő dans le cas simple des polynômes trigonométriques à valeurs matricielles. Dans un second travail, mené conjointement avec Damien Simon, nous abordons le cas des champs gaussiens markoviens sur le réseau carré Z2 et exhibons de nouveaux objets et structures de bord, qui constituent le premier exemple non trivial de la théorie développée par D. Simon. Pour ce faire, nous bâtissons des outils originaux, dont cette récente théorie est dépourvue. Ces approches sont basées sur des techniques classiques de mécanique statistique et de calcul gaussien mais aussi sur des méthodes nouvelles. En particulier, nous revisitons la très classique matrice de transfert, objet unidimensionnel, que nous adaptons pour produire tous les objets purement bidimensionnels introduits par D. Simon. Les constructions opéradiques de D. Simon sont ici réalisées sur des espaces de formes quadratiques par l’intermédiaire de compléments de Schur. Nous montrons que tous ces objets vérifient des équations de type "vecteurs propres" à des morphismes d’opérade près, assurant que, une fois recombinés, ces objets constituent bien le bord invariant recherché pour nos champs gaussiens.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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