Oriented paths in digraphs and the S-packing coloring of subcubic graph - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2023

Oriented paths in digraphs and the S-packing coloring of subcubic graph

Chemins orientés dans les graphes orientés et coloration S-packing des graphes subcubiques

Batoul Tarhini
  • Function : Author
  • PersonId : 1391099
  • IdRef : 278760716

Abstract

This PhD thesis is divided into two principal parts: Part I delves into the existenceof oriented paths in digraphs, aiming to establish a connection between a digraph'schromatic number and the existence of specific oriented paths within it as subdigraphs. Digraphs contained in any n-chromatic digraph are called n-universal. We consider two conjectures: Burr's conjecture, which states that every oriented tree of order n is (2n-2)-universal, and El Sahili's conjeture which states that every oriented path of order n is n-universal. For oriented paths in general, the best bound is given by Burr, that is every oriented path of order n is (n − 1)^2-universal. Our objective is to study the existence of an integer k such that any digraph with a chromatic number k, contains a copy of a given oriented path with three blocks as its subdigraph. To achieve our goals, we rely significantly on fundamental concepts, including, induction on the order of a given digraph, final forests, leveling techniques, and strategic digraph decomposition methods. A path P (k1, k2, k3) is an oriented path consisting of k1 forward arcs, followed by k2 backward arcs, and then by k3 forward arcs. For the path P(k,1,l), we have confirmed El Sahili's conjecture in Hamiltonian digraphs. More clearly, we have established the existence of any path P (k, 1, l) of order n in any n-chromatic Hamiltonian digraph. And depending on this result concerning Hamiltonian digraphs, we proved the correctness of El Sahili's conjecture on a more general class of digraphs which is digraphs containing a Hamiltonian directed path. We introduce a new technique which is represented by a decomposition of the digraph into subdigraphs defined by a series of successive operations applied to the digraph relying on the famous theorem of Roy which establishes the existence of a directed path of order n in any n-chromatic digraph. This technique has proven to be instrumental in establishing new linear bounds for the chromatic number of digraphs that lack an oriented path with three blocks. In deed, using this technique, we proved that the path P(k,1,l) satisfies Burr's conjecture.Moreover, for any path with three blocks, P(k,l,r) we establish a linear bound for the chromatic number which improves all the previously reached bounds. In Part II we study the problem of S-packing coloring in graphs. Given a non-decreasing sequence S = (s1, s2, . . . , sk) of positive integers, an S-packing coloring of a graph G is a partition of the vertex set of G into k subsets{V1, V2, . . . , Vk} such that for each 1 ≤ i ≤ k, the distance between any two dis-tinct vertices u and v in Vi is at least si + 1. Our focus is centered on an intriguing conjecture proposed by Brešar et al., which states that packing chromatic number of the subdivision of any subcubic graph is at most 5. Our desired aim is to provide a confirmation of this conjecture for specific classes of subcubic graphs, and to address the unresolved issues raised within this subject matter. An observation for Gastineau and Togni states that if a graph G is (1, 1, 2, 2)-packing colorable, then the chromatic number of its subdivision graph S(G) is at most 5, and hence it satisfies the conjecture. Depending on this observation, and in order to prove the correctness of the conjecture for the class of cubic Halin graphs, we studied its S-packing coloring aiming to prove that it admits a (1, 1, 2, 2)- packing coloring. We proved that a cubic Halin graph is (1, 1, 2, 3)-packing colorable, then it is (1, 1, 2, 2)-packing colorable, and so we confirm the conjecture for this class. Moreover, Gastineau and Togni, after proving that every subcubic graph is (1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)-packing colorbale, have posed an open problem on whether every subcubic graph is (1, 2, 2, 2, 2, 2)-packing colorable. We answer this question in affirmative in the particular class we worked on; we proved that cubic Halin graphs are (1, 2, 2, 2, 2, 2)-packing colorable.
Cette thèse de doctorat est divisée en deux parties principales: La partie I explore l'existence de chemins orientés dans les digraphes, cherchant à établir un lien entre le nombre chromatique d'un digraphe et l'existence de chemins orientés spécifiques en tant que sous-digraphes. Les digraphes contenus dans n'importe quel digraphe n-chromatique sont appelés n-universels. Nous examinons deux conjectures : la conjecture de Burr, qui affirme que chaque arbre orienté d'ordre n est (2n-2)-universel, et la conjecture d'El Sahili, qui déclare que chaque chemin orienté d'ordre n est n-universel. Pour les chemins orientés en général, la meilleure borne est donnée par Burr, à savoir que chaque chemin orienté d'ordre n est (n - 1)²-universel.Notre objectif est d'étudier des chemins à trois blocs. Pour atteindre nos objectifs, nous nous appuyons fortement sur des concepts fondamentaux, y compris l'induction sur l'ordre d'un digraphe donné, les forêts finales, les techniques de nivellement et les méthodes de décomposition stratégique de digraphes. Un chemin comportant trois blocs est désigné par P(k1, k2, k3). Pour le chemin P(k,1,l), nous avons confirmé la conjecture d'El Sahili dans les digraphes Hamiltoniens. En se basant sur ce résultat pour les digraphes Hamiltoniens, nous avons confirmé la conjecture d'El Sahili pour une classe plus générale de digraphes, ceux qui incluent un chemin dirigé hamiltonien. Nous introduisons une technique novatrice : une décomposition du digraphe en sous-digraphes résultant d'une série d'opérations basées sur le fameux théorème de Roy, qui garantit l'existence d'un chemin orienté dirigé d'ordre n dans tout digraphe n-chromatique. Cette technique s'est avérée cruciale pour établir de nouvelles bornes linéaires pour le nombre chromatique de digraphes qui ne comportent pas de chemin orienté avec trois blocs. En effet, en utilisant cette technique, nous avons prouvé que le chemin P(k,1,l) satisfait la conjecture de Burr. De plus, pour n'importe quel chemin à trois blocs, P(k,l,r), nous avons établi une borne linéaire pour le nombre chromatique qui améliore toutes les bornes précédemment atteintes. Dans la partie II, nous étudions le problème de la coloration de packing dans les graphes. Étant donnée une séquence non décroissante S = (s1, s2, . . . , sk) d'entiers positifs, une S-coloration (de packing) d'un graphe G est une partition de l'ensemble des sommets de G en k sous-ensembles {V1, V2, . . . , Vk} tels que pour chaque 1 ≤ i ≤ k, la distance entre deux sommets distincts u et v dans Vi est d'au moins si + 1. Notre attention est centrée sur une conjecture intrigante proposée par Brešar et al., qui affirme que l'arête subdivision de n'importe quel graphe subcubique admet une (1,2,3,4,5)-coloration de packing. Notre objectif est de confirmer cette conjecture pour des classes spécifiques de graphes subcubiques et de traiter les questions non résolues soulevées dans ce domaine. Une observation de Gastineau et Togni indique que si un graphe G est (1, 1, 2, 2)-colorable, alors son graphe subdivisé S(G) est (1,2,3,4,5)-colorable, et donc il satisfait la conjecture. En nous basant sur cette observation et afin de prouver la véracité de la conjecture pour la classe des graphes de Halin cubiques, nous avons étudié leur S-coloration de packing visant à prouver qu'ils admettent une coloration en (1, 1, 2, 2). Nous avons prouvé que tout graphe de Halin cubique est (1, 1, 2, 3)-colorable, et donc (1, 1, 2, 2)-colorable, et ainsi nous confirmons la conjecture pour cette classe. De plus, Gastineau et Togni, après avoir prouvé que chaque graphe subcubique est (1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)-colorable, ont posé un problème ouvert sur le fait de savoir si chaque graphe subcubique est (1, 2, 2, 2, 2, 2)-colorable. Nous répondons affirmativement à cette question dans la classe particulière sur laquelle nous avons travaillé : nous avons prouvé que les graphes d'Halin cubiques sont (1, 2, 2, 2, 2, 2)-colorables.
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Dates and versions

tel-04608445 , version 1 (11-06-2024)

Identifiers

  • HAL Id : tel-04608445 , version 1

Cite

Batoul Tarhini. Oriented paths in digraphs and the S-packing coloring of subcubic graph. Other [cs.OH]. Université Bourgogne Franche-Comté; Université Libanaise. Faculté des Sciences (Beyrouth, Liban), 2023. English. ⟨NNT : 2023UBFCK079⟩. ⟨tel-04608445⟩
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