Randomness, structure preservation, and low-regularity numerical approximations for nonlinear dispersive equations - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2024

Randomness, structure preservation, and low-regularity numerical approximations for nonlinear dispersive equations

Schémas numériques pour les équations dispersives non linéaires : analyse à faible régularité, cadre aléatoire et préservation de symétries

Yvonne Alama Bronsard
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1393025
  • IdRef : 278904815

Résumé

The work presented in this thesis belongs to the field of numerical analysis, and builds on tools stemming from the study of partial differential equations (PDEs). We focus on time discretizations to nonlinear dispersive equations. The aim is to reduce the smoothness assumptions on the design and analysis of numerical methods, in order to treat low-regularity dynamics.Part I of the thesis develops novel low-regularity schemes, suited for general bounded domains. Chapter 2 presents first and second order convergence results for the Gross-Pitaevskii equation, when both the initial data and the potential are non-smooth. Chapter 3 generalizes the construction of these schemes to higher order and to a general class of nonlinear evolution equations with potentials.Part II of the thesis consists of Chapter 4, which considers higher-order constructions for randomized initial conditions. Part III of the thesis considers the long-time properties and invariants of the equation, and deals with structure-preserving schemes. We first introduce in Chapter 5 a novel symmetric time integrator for the nonlinear Schr ̈odinger equation. We give fractional convergence rates as a function of the Sobolev regularity of the initial data. Chapter 6 extends the latter work by constructing higher order symmetric integrators for a general class of dispersive equations. All these new symmetric schemes exhibit excellent structure preservation and convergence properties, which are witnessed in numerical experiments.The higher order extensions of Chapters 3, 4, 6 follow new techniques based on decorated tree series, inspired by singular stochastic PDEs via the theory of Regularity Structures.
Le travail présenté dans cette thèse relève du domaine de l'analyse numérique et s'appuie sur des outils issus de l'étude des équations aux dérivées partielles (EDP). Nous nous concentrons sur les discrétisations temporelles des équations dispersives non linéaires. L'objectif est de réduire les hypothèses de régularité nécessaires lors de la conception et de l'analyse des méthodes numériques, afin de traiter les dynamiques à faible régularité.La partie I de la thèse introduit de nouveaux schémas à faible régularité, adaptés à des domaines bornés génériques. Le chapitre 2 présente des résultats de convergence au premier et au second ordre pour l'approximation de l'équation de Gross-Pitaevskii, lorsque la donnée initiale et le potentiel sont peu réguliers. Le chapitre 3 généralise la construction de ces schémas aux ordres supérieurs, et pour une classe générale d'équations d'évolution non linéaires.La partie II est constituée du chapitre 4, qui génère des constructions d'ordre élevé dans le cadre de conditions initiales aléatoires.Finalement, la partie III se consacre à l'étude en temps long d'équations dispersives, et de leurs invariants, en considérant des schémas préservant leur structure. Elle débute avec le chapitre 5, qui introduit un nouvel intégrateur symétrique pour l'équation de Schrödinger non linéaire, et démontre des résultats de convergence à des taux fractionnaires, en fonction de la régularité de Sobolev de la donnée initiale. Par la suite, le chapitre 6 étend cette construction symétrique aux ordres supérieurs et pour la résolution numérique d'une classe générale d'équations dispersives. Des simulations numériques montrent que ces nouveaux schémas symétriques présentent d'excellentes propriétés de préservation de la structure.Les extensions aux ordres supérieurs développées aux chapitres 3, 4, et 6 se fondent sur de nouvelles techniques d'arbres décorés, inspirées par le champ des EDP stochastiques singulières, via la théorie des structures de régularité.
Fichier principal
Vignette du fichier
144144_ALAMA_2024_archivage.pdf (6.7 Mo) Télécharger le fichier
Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04615051 , version 1 (17-06-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04615051 , version 1

Citer

Yvonne Alama Bronsard. Randomness, structure preservation, and low-regularity numerical approximations for nonlinear dispersive equations. Mathematics [math]. Sorbonne Université, 2024. English. ⟨NNT : 2024SORUS065⟩. ⟨tel-04615051⟩
0 Consultations
0 Téléchargements

Partager

Gmail Mastodon Facebook X LinkedIn More