Continuity in Type Theory
Continuité en théorie des types
Résumé
In this thesis, I study the interaction between type theory and continuity, a mathematical concept describing the intuition that a function can only query a finite part of its argument before returning a value.
In the first Chapter, I describe type theory and my working paradigm: the proof-program correspondence, or Curry-Howard isomorphism, which asserts that computation and proof are two sides of the same coin. I explain how type theory is still struggling with the integration of so-called classical principles, such as the axiom of choice or the excluded-middle.
In a second part I survey the different definitions of continuity, and how they differ from each other from a logical point of view.
In the third Chapter I present a first attempt to mingle continuity and type theory, through a syntactic model of a particular type theory, dubbed Baclofen Type Theory.
Finally, in the last Chapter I define a type theory where all functions are continuous, and present preliminar results on the proof of its normalisation.
Dans cette thèse, j'étudie l’interaction entre la théorie des types et la continuité, un concept mathématique formalisant l’intuition qu’une fonction ne peut interroger qu’une partie finie de son argument avant de renvoyer une valeur
Dans le premier chapitre, je décris la théorie des types et mon prisme de lecture: la correspondance preuve-programme, ou isomorphisme de Curry-Howard, qui affirme que calcul et preuve sont deux faces d’une même pièce. J’y explique comment la théorie des types bute encore sur l’intégration de principes dits classiques, comme l’axiome du choix ou le tiers- exclu.
Dans le deuxième chapitre, j’analyse les différentes définition de la continuité, et comment celles-ci diffèrent les unes des autres d’un point de vue logique.
Dans le troisième chapitre, je présente une première tentative d’intégration de la continuité en théorie des types, à travers un modèle syntaxique d’une théorie des types particulières, appelée Baclofen Type Theory. Enfin, dans le dernier chapitre, je détaille une théorie des types où toutes les fonctions sont continues, et présente des résultats préliminaires de normalisation de cette théorie.
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