A posteriori error estimation for simulation of diffusion and fluid mechanics problems by finite volume techniques
Estimations d'erreur a posteriori pour la simulation de problèmes de diffusion et de mécanique des fluides par des méthodes de volumes finis
Résumé
My work concerns a posteriori error estimation for the numerical simulation by finite volume techniques of several models related to fluid mechanics: the steady-state Stokes equations, the nonlinear Darcy diffusion equation and the linear transport equation. Moreover, a result about discrete Poincar´e inequalities for arbitrary 2D meshes is also included.
Firstly, we derive an a posteriori error estimation for the discrete duality finite volume (DDFV) discretization of the stationary Stokes equations on very general twodimensional meshes, when a penalty term is added in the incompressibility equation to stabilize the variational formulation. Two different estimators are provided: one for the error on the velocity and one for the error on the pressure. They both include a contribution related to theerror due to the stabilization of the scheme, and a contribution due to the discretization itself. The estimators are globally upper as well as locally lower bounds for the errors of the DDFV discretization. Numerical experiments
illustrate the theoretical results and we especially consider the influence on the error of the penalty parameter for a fixed mesh and also of the mesh size for a fixed value of the penalty parameter.
Secondly, we consider locally conservative numerical methods that provide discrete solutions of
he nonlinear Darcy diffusion equation through an iterative linearization process. The a posteriori error estimation includes two terms: one related to the discretization and the other related to the linearization process. Hence, the iterative linearization can be stopped whenever the linearization estimator drops below a fraction of the discretization estimator. This leads to computational savings, because it avoids unnecessary linearization iterations, without affecting the actual error. Numerical tests are performed with several types of nonlinear diffusion equations discretized by the DDFV scheme.
In the third part, we obtain an a posteriori error estimation in the L1-norm for the upwind finite volume discretization of the transport equation. The novelty with respect to previous works in this field is that we do not necessarily consider that the transport velocity is divergence free. Finally, we establish discrete Poincar´e type inequalities on a twodimensional polygonal domain covered by arbitrary, possibly nonconforming meshes. These inequalities play a crucial role in the stability and a priori analysis of DDFV schemes. On such meshes, discrete scalar fields are defined by their values both at the cell centers and vertices, while discrete gradients are associated with the edges of the mesh. We prove that the constants that appear in these inequalities depend only on the domain and on the angles in the diagonals of the diamond cells constructed by joining the two vertices of each mesh edge and the centers of the cells that share that edge.
Mes travaux portent sur l'estimation d'erreur a posteriori pour la simulation numérique par des techniques de volumes finis de plusieurs modèles liés à la mécanique des fluides : le équations de Stokes en régime permanent, équation de diffusion de Darcy non linéaire et l'équation de transport linéaire. De plus, un résultat sur le discret Poincaré les inégalités pour les maillages 2D arbitraires sont également incluses.
Premièrement, nous dérivons une estimation d'erreur a posteriori pour la dualité discrète discrétisation en volumes finis (DDFV) des équations stationnaires de Stokes sur maillages bidimensionnels très généraux, lorsqu'un terme de pénalité est ajouté dans le équation d'incompressibilité pour stabiliser la formulation variationnelle. Deux estimateurs différents sont fournis : un pour l'erreur sur la vitesse et un pour l'erreur sur la pression. Ils incluent tous deux une contribution liée à la erreur due à la stabilisation du régime, et une contribution due à la la discrétisation elle-même. Les estimateurs sont globalement supérieurs ainsi que localement inférieurs limites pour les erreurs de la discrétisation DDFV. Expériences numériques
illustrer les résultats théoriques et nous considérons particulièrement l'influence sur l'erreur du paramètre de pénalité pour un maillage fixe et également de la taille du maillage pour une valeur fixe du paramètre de pénalité.
Deuxièmement, nous considérons des méthodes numériques localement conservatrices qui fournissent des solutions discrètes de l'équation de diffusion de Darcy non linéaire à travers un
processus de linéarisation itératif. L’estimation d’erreur a posteriori comprend deux termes : l’un lié à la discrétisation et l’autre lié au processus de linéarisation. Par conséquent, la linéarisation itérative peut être arrêtée chaque fois que le L’estimateur de linéarisation tombe en dessous d’une fraction de l’estimateur de discrétisation. La conduit à des économies de calcul, car cela évite les itérations de linéarisation inutiles, sans affecter l'erreur réelle. Les tests numériques sont réalisée avec plusieurs types d'équations de diffusion non linéaires discrétisées par le dispositif DDFV.
Dans la troisième partie, nous obtenons une estimation d'erreur a posteriori dans le L1-norme pour la discrétisation en volumes finis au vent de l'équation de transport. La nouveauté par rapport aux travaux antérieurs dans ce domaine est que nous ne considérer nécessairement que la vitesse de transport est sans divergence.
Enfin, nous établissons des inégalités discrètes de type Poincaré sur un domaine polygonal idimensionnel couvert par des maillages arbitraires, éventuellement non conformes. Ces inégalités jouent un rôle crucial dans la stabilité et l’analyse a priori des Schémas DDFV. Sur de tels maillages, les champs scalaires discrets sont définis par leur des valeurs à la fois au centre des cellules et aux sommets, tandis que des dégradés discrets sont associés aux bords du maillage. Nous prouvons que les constantes qui apparaissent dans ces inégalités ne dépendent que du domaine et des angles dans les diagonales des cellules en losange construites en joignant les deux sommets de chacune bord du maillage et les centres des cellules qui partagent ce bord.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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