Quantum-classical correspondence principle and application to the control of wave and Schrödinger equations in the Euclidean space
Correspondance classique-quantique et application au contrôle d'équations d'ondes et de Schrödinger dans l'espace euclidien
Résumé
Wave and Schrödinger equations model a variety of phenomena, such as propagation of light, vibrating structures or the time evolution of a quantum particle. In these models, the high-energy asymptotics can be approximated by classical mechanics, as geometric optics. In this thesis, we study several applications of this principle to control problems for wave and Schrödinger equations in the Euclidean space, using microlocal analysis.In the first two chapters, we study the damped wave equation and the Schrödinger equation with a confining potential in the euclidean space. We provide necessary and sufficient conditions for uniform stability in the first case, or observability in the second one. These conditions involve the underlying classical dynamics which consists in a distorted version of geometric optics, due to the presence of the potential.Then in the third part, we analyze the quantum-classical correspondence principle in a general setting that encompasses the two aforementioned problems. We prove a version of Egorov's theorem in the Weyl--Hörmander framework of metrics on the phase space. We provide with various examples of application of this theorem for Schrödinger, half-wave and transport equations.
Les équations des ondes et de Schrödinger modélisent une grande variété de phénomènes ondulatoires, tels que la propagation de la lumière, les vibrations d'un objet ou l'évolution temporelle d'une particule quantique. Dans ces modèles, l'asymptotique des hautes énergies peut être décrite par des équations de la mécanique classique, comme l'optique géométrique. Dans cette thèse, nous étudions plusieurs applications de la correspondance classique-quantique à des problèmes de contrôle des équations des ondes et de Schrödinger dans l'espace euclidien, en utilisant des méthodes d'analyse microlocale.Dans les deux premières parties, nous étudions l'équation des ondes amorties et l'équation de Schrödinger avec un potentiel confinant dans l'espace euclidien. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité uniforme pour la première, et d'observabilité pour la seconde. Ces conditions font intervenir la dynamique classique sous-jacente qui consiste en une optique géométrique tordue par la présence du potentiel.Nous analysons ensuite dans une troisième partie la correspondance classique-quantique dans un cadre général qui contient les deux problèmes mentionnés ci-dessus. Nous démontrons une version du théorème d'Egorov dans le formalisme des métriques sur l'espace des phases et du calcul de Weyl--Hörmander. On présente différents cadres d'application de ce théorème pour des équations de Schrödinger, de demi-ondes et de transport.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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