Graph modification and covering : Parameterized approaches
Modification et couverture de graphes : Approches paramétrées
Résumé
This thesis deals with problems of edge modification and graph covering by shortest paths in the context of parameterized complexity. In an edge modification problem we have as input an arbitrary graph and the objective is to add and remove a minimum number of edges to this graph so that the modified graph belongs to a specified class. These are generally NP-hard problems. We are interested in a certain type of parameterized algorithm for tackling these problems, called kernels. Given a parameter k corresponding to the maximum number of modifications allowed, a kernel is a polynomial algorithm, which transforms the input graph into an equivalent reduced instance, but of size bounded by a function of k (independent of the size of the input). We present kernels for several problems, such as TRIVIALLY PERFECT EDITION, BLOCK GRAPH EDITION, and STRICTLY CHORDAL EDITION.We also consider graph covering problems using shortest paths. We show that graphs whose vertices or edges can be covered by k shortest paths have a treewidth bounded by an exponential function in k. This allows us to show that we can decide whether a graph can be covered by k shortest paths in XP time, i.e. in "n^f(k)" time for n the number of vertices of the graph and a certain function f. We show that the problem ISOMETRIC PATH COVER WITH TERMINALS, where we specify as input the k pairs of extremities of the shortest paths sought, is even FPT, i.e. it admits an algorithm of complexity "f(k)\ ・ nO(1)" for a certain function f.
Cette thèse traite de problèmes de modification d’arêtes et de couverture de graphes par des plus courts chemins dans le cadre de la complexité paramétrée. Dans un problème de modification d’arêtes nous avons en entrée un graphe quelconque et l’objectif est d’ajouter et de supprimer un nombre minimum d’arêtes à ce graphe de manière à ce que le graphe modifié appartienne à une classe de graphes donnée. Ce sont des problèmes généralement NP-difficiles à résoudre. Nous nous intéressons à un certain type d’algorithmes paramétrés pour aborder ces problèmes, appelés noyaux. Étant donné un paramètre k correspondant au nombre maximum de modifications autorisées, un noyau est un algorithme polynomial, qui transforme le graphe en entrée en une instance réduite équivalente, mais de taille bornée par une fonction de k (indépendante de la taille de l’entrée). Nous présentons des noyaux pour plusieurs problèmes, tels que TRIVIALLY PERFECT EDITION, BLOCK GRAPH EDITION, et STRICTLY CHORDAL EDITION. Nous considérons également des problèmes de couverture de graphes par des plus courts chemins. Nous montrons que les graphes dont les sommets ou les arêtes peuvent être couverts par k plus courts chemins ont une largeur arborescente bornée par une fonction exponentielle en k. Cela nous permet de montrer que l’on peut décider si un graphe est couvrable par k plus courts chemins en temps XP, c’est à dire en temps "n^f(k)" pour n le nombre de sommets du graphe et une certaine fonction f. Nous montrons que le problème ISOMETRIC PATH COVER WITH TERMINALS, où l’on spécifie en entrée les k paires d’extrémités des plus courts chemins recherchés, est même FPT, c’est à dire qu’il admet un algorithme de complexité "f(k)\ ・ nO(1)" pour une certaine fonction f.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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