Combinatorics, homotopy, and embedding of operads
Combinatoire, homotopie et plongements d’opérades
Résumé
Algebraic operads are an algebraic tool for encoding some varieties of algebras, not necessarily associative, such as Lie algebras or pre-Lie algebras. Moreover, algebraic operads can themselves be viewed as algebras in a well-chosen category. This observation allows the study of operads using the powerful tools of homological algebra. Simultaneously, the monoidal category where the monoid objects are operads is the category of combinatorial species equipped with plethysm. This enables a very combinatorial perspective on operads, providing explicit descriptions of the considered objects. These two approaches synergize well together, and this thesis will focus on the interaction between these two viewpoints. Indeed, we will use homotopical tools such as operadic Koszul duality to obtain combinatorial information on the operads we study. We then use this information to derive combinatorial descriptions that allow for explicit computations. This thesis is divided into three parts. The first part is an introduction to the theory of species. Next, we provide an introduction to the theory of algebraic operads and operadic Koszul duality. Finally, we compute descriptions of operads and apply them to prove a conjecture by Dotsenko on embedding the operad encoding the algebraic structure on the vector field of Frobenius manifolds.
Les opérades algébriques sont un outil algébrique permettant d’encoder certaines variétés d’algèbres non-nécessairement associatives, comme les algèbres de Lie ou les algèbres pre-Lie. De plus, les opérades algébriques peuvent elles-mêmes être vues comme des algèbres dans une catégorie bien choisie. Cette remarque permet l’étude des opérades via les puissants outils de l’algèbre homologique. En parallèle, la catégorie monoïdale telle que les objets en monoïde de cette catégorie sont les opérades est la catégorie des espèces combinatoires munie du pléthysme. Cela permet d’adopter un point de vue très combinatoire sur les opérades donnant ainsi des descriptions très explicites des objets considérés. Ces deux approches synergisent très bien ensemble et cette thèse se concentrera sur l'interaction entre ces deux points de vue. En effet, nous utiliserons des outils homotopiques tels que la dualité de Koszul opéradique pour obtenir des informations combinatoires sur les opérades que nous étudions. Nous utilisons ensuite celles-ci pour obtenir des descriptions combinatoires permettant d'effectuer des calculs explicites. Cette thèse est divisée en trois parties. La première partie est une introduction à la théorie des espèces. Ensuite, nous donnons une introduction à la théorie des opérades algébriques et à la dualité de Koszul opéradique. Enfin, nous calculons certaines descriptions combinatoires d’opérades, et les appliquons pour prouver une conjecture de Dotsenko sur un plongement de l'opérade encodant la structure algébrique sur le champ de vecteurs des variétés de Frobenius.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|