Stability of discrete shock profiles for systems of conservation laws
Stabilité de profils de choc totalement discrets pour les systèmes de lois de conservation
Résumé
This thesis deals with the stability analysis of discrete shock profiles for systems of conservation laws. These profiles correspond to approximations of discontinuous traveling waves by conservative finite difference schemes. Such discontinuous solutions appear naturally in the study of conservation law systems, which can model many physical situations, such as gas dynamics.
The study of discrete shock profiles is essentially divided into two directions, the first one focusing on the construction of such discrete profiles and thus on the proof of their existence, and the second one studying their stability. The main objective of this thesis is to investigate this second direction. Many existing results on the stability of discrete shock profiles introduce constraining hypotheses, such as the restriction to scalar conservation laws or the requirement that the approximated discontinuities should be of small amplitude. The results of this thesis aim to pave the way towards nonlinear stability results that would deal with systems of conservation laws and not just scalar laws, and that would replace the smallness assumption on the amplitude of the discontinuities by a spectral assumption on the linearization of the numerical scheme about the discrete shock profile under consideration.
In terms of the results obtained, the thesis initially focuses on obtaining sharp decay estimates for the linearization of the numerical scheme about particular solutions. We will first focus on the linearization about constant solutions before moving on to the more complicated case of the linearization about discrete shock profiles. From a spectral point of view, the analysis of the shock problem implies the existence of an eigenvalue located within the essential spectrum. This results in new terms in the analysis of the Green's function of the linearized scheme and decay properties of each of these terms will be presented. In a final section, we use the estimates obtained on the linearized operator to establish a nonlinear stability argument.
Cette thèse aborde l'analyse de la stabilité des profils de choc totalement discrets pour les systèmes de lois de conservation. Ces profils correspondent à l'approximation d'ondes progressives discontinues par des schémas aux différences finies conservatifs. De telles solutions discontinues apparaissent naturellement dans l'étude des systèmes de lois de conservation qui peuvent modéliser de nombreuses situations physiques comme par exemple la dynamique des gaz.
L'étude des profils de choc totalement discrets se divise essentiellement en deux axes, le premier étant de construire de tels profils discrets et donc de prouver leur existence, et le second étant d'étudier leur stabilité. L'objectif principal de cette thèse est d'approfondir cette seconde direction. De nombreux résultats existants sur la stabilité des profils de chocs totalement discrets introduisent des hypothèses contraignantes, telles que la restriction aux lois de conservation scalaires ou encore le fait d'imposer que les discontinuités approchées soient de faible amplitude. Les résultats de cette thèse visent à ouvrir la voie vers des résultats de stabilité non linéaire qui traiterait de systèmes de lois de conservation et non pas seulement de lois scalaires, et qui remplacerait l'hypothèse de faible amplitude des discontinuités par une hypothèse spectrale sur le linéarisé du schéma autour du profil de choc discret considéré.
Au niveau des résultats obtenues, dans un premier temps, la thèse se focalise sur l'obtention d'estimées de décroissance fines sur le linéarisé du schéma aux niveaux de solutions particulières. On se concentrera d'abord sur le linéarisé au niveau des solutions constantes avant de passer au cas plus compliqué du linéarisé au niveau des profils de choc totalement discrets. D'un point de vue spectral, l'analyse du problème des chocs fait apparaitre une valeur propre plongée dans le spectre essentiel. Il en résulte de nouveaux termes dans l'analyse de la fonction de Green du schéma linéarisé et on détaille les propriétés de décroissance de chacun de ces termes. Dans une dernière partie, on utilise les estimations obtenues sur l'opérateur linéarisé pour établir un argument de stabilité non linéaire.
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