Coupling of stochastic processes in subRiemannian geometry
Couplages de processus stochastiques en géométrie sous-riemannienne
Résumé
This thesis deals with the study of the couplings of subelliptic Brownian motions in several subRiemannian manifolds: the free, step 2 Carnot groups, including the Heisenberg group, as well as the groups of matrices SU(2) et SL(2, R). These last ones can be seen, together with the Heisenberg group, as some model spaces with constant curvature in subRiemannian geometry. We use the decomposition of the Brownian motion as a Brownian motion on a Riemannian manifold, that we will call driving noise, as well as a process that can be interpreted as the area swept by the driving noise. The coupling method used here consists in defining a coupling for the driving noises and then study its impact on the swept areas. Taking inspiration from previous works on the Heisenberg group, we first focus on successful couplings, that is couplings where the processes meet at an almost surely finite time. Using the Karhunen-Loève expansion of the Brownian bridges, we construct successful non co-adapted couplings on SU(2) and on the free step 2 Carnot groups with rank n ≥ 3. When the processes start from the same fiber we also get a result on SL(2, R). In particular we obtain estimates of the coupling rate, leading to gradient inequalities for the heat semi-group and for harmonic functions. We also describe the explicit construction of a co-adapted successful coupling on SU(2). Finally, we develop a new coupling model "in one sweep", which is based on the study of an inverse problem to obtain good estimates of the total variation distance between the laws of the processes. This work is done for any free, step 2 Carnot groups and uses a decomposition of the Brownian motion via the Legendre polynomials. This method also allows us to obtain relations similar to the Bismut-Elworthy-Li formula for the gradient of the semi-group by studying a change of probability on the Gaussian space.
Dans cette thèse on s’intéresse à l’étude des couplages des mouvements browniens sous-elliptiques sur plusieurs variétés sous-riemaniennes: les groupes de Carnot libres d’ordre 2, incluant le groupe d’Heisenberg, ainsi que les groupes de matrices SU(2) et SL(2, R). Ces derniers peuvent être vus, avec le groupe d’Heisenberg, comme des espaces modèles de courbure constante en géométrie sous-riemanienne. On utilise la décomposition du mouvement brownien sous la forme d’un mouvement brownien sur une variété riemannienne, que nous nommerons bruit directeur, ainsi que d’un processus pouvant s’interpréter comme l’aire balayée par ce bruit directeur. La méthode de couplage utilisée ici consiste alors à définir un couplage pour les bruits directeurs et à en étudier l’effet sur les aires balayées. En s’inspirant de précédents travaux sur le groupe d’Heisenberg on s’intéresse d’abord aux couplages avec succès, c’est à dire les couplages pour lesquels le temps de rencontre entre les processus est fini presque surement. En utilisant la décomposition de Karhunen-Loève pour les ponts browniens, on construit des couplages non co-adaptés avec succès sur SU(2) et sur les groupes de Carnot libres de profondeur 2 sur Rn avec n ≥ 3. Lorsque les processus partent de la même fibre on obtient également un résultat sur SL(2, R). En particulier ces constructions mènent à des estimées du taux de couplage dont on déduit des inégalités pour le semi-groupe de la chaleur et pour les fonctions harmoniques. On propose aussi la construction explicite d’un couplage co-adapté sur SU(2). Enfin, on développe un nouveau modèle de couplage "en un coup" basé sur résolution d’un problème inverse pour obtenir de bonnes estimées de la distance en variation totale entre les lois des processus. Ce travail est effectué sur les groupes de Carnot libres de profondeur 2 et utilise une décomposition du mouvement brownien via les polynômes de Legendre. Il permet aussi d’obtenir des relations similaires à la formule de Bismut-Elworthy-Li pour les gradients de semi-groupes, via l’étude d’un changement de probabilité sur l’espace des vecteurs Gaussiens.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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