Combinatorial and Algorithmics apects of Metric dimension
Dimension métrique et coloration dans les graphes peu denses
Résumé
This thesis is devoted to the study of metric dimension and coloring in sparse classes of graphs. The metric dimension of a graph is the minimum number of vertices to choose so that all vertices in the graph are uniquely determined by their distances from those vertices. A method for choosing such vertices in an optimal way being known in the case of trees, we present generalizations of these methods. The first is an algorithm giving an approximate solution in graphs with a small number of edges. We deduce from this algorithm an inequality between the metric dimension, the zero-forcing number and the cyclomatic number. The second generalization is an exact algorithm for the class of chordal graphs, of complexity parameterized by the tree-width of the graph. The classical coloring problem consists in giving each vertex of a graph a color so that two adjacent vertices do not have the same color, while minimizing the total number of colors. We present several bounds on the maximum number of colors needed to color the square of a planar graph as a function of the maximum degree of the graph. These bounds were obtained by discharging methods, we detail an automatization of the proof for one of the bounds. Finally, we consider the problem of coloring reconfiguration by Kempe changes. It is known that it is always possible to reconfigure a planar graph if dollardollar colors are allowed. We improve this result by showing that such a reconfiguration can always be done in polynomial time in the number of vertices.
Cette thèse est consacrée à l'étude de la dimension métrique et de la coloration dans des classes de graphes peu denses. La dimension métrique d'un graphe est le nombre minimal de sommets à choisir de sorte que tous les sommets du graphe soient uniquement déterminés par leurs distances à ces sommets. Une méthode pour choisir de tels sommets de façon optimale étant connue dans le cas des arbres, nous présentons des généralisations de ces méthodes. La première est un algorithme donnant une solution approchée dans les graphes ayant un petit nombre d'arêtes. On déduit de cet algorithme une inégalité entre la dimension métrique, le nombre zéro-forçant et le nombre cyclomatique. La seconde généralisation est un algorithme exact pour la classe des graphes chordaux, de complexité paramétrée par la largeur arborescente du graphe. Le problème classique de coloration consiste à donner à chaque sommet d'un graphe une couleur de sorte que deux sommets adjacents n'aient pas la même couleur, tout en minimisant le nombre total de couleurs. Nous présentons plusieurs bornes sur le nombre maximal de couleurs nécessaires pour colorer le carré d'un graphe planaire en fonction du degré maximal du graphe. Ces bornes ont été obtenues par des méthodes de déchargement dont nous détaillons une automatisation de la preuve pour l'une des bornes. Enfin, nous considérons le problème de reconfiguration de colorations par changements de Kempe. Il est connu qu'il est toujours possible de reconfigurer un graphe planaire si dollar5dollar couleurs sont autorisées. Nous améliorons ce résultat en montrant qu'une telle reconfiguration peut toujours se faire en temps polynomial en le nombre de sommets.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|