La question de l'influence du toucher pianistique sur le son est souvent débattue au sein des communautés des pianistes et des scientifiques.L'hypothèse selon laquelle le toucher peut influencer le son par l'intermédiaire des ondes longitudinales présentes dans les cordes est répandue, mais n'a jamais été vérifiée, ni par l'expérience, ni par la modélisation physique.La simulation numérique du piano dans le domaine temporel, avec une attention toute particulière pour les ondes longitudinales, permet d'aborder cette question.Cette thèse propose (I) l'application et l'analyse mathématique de méthodes de quadratisation d'énergie pour les cordes dans un formalisme variationnel, (II) la modélisation des mouvements de rotation du chevalet pour le couplage de la corde à la table d'harmonie, (III) la prise en compte d'un terme de frottement entre le marteau et la corde, et l'étude de la flexibilité du manche du marteau, et (IV) l'assemblage de ces contributions et d'un modèle multicorps de mécanique de frappe pour l'étude du toucher pianistique.Tout d'abord, nous appliquons diverses techniques de quadratisation d'énergie pour la simulation numérique de modèles de propagation d'ondes non-linéaires de corde de piano avec une discrétisation spatiale par éléments finis spectraux d'ordre élevé. Nous développons alors leur analyse mathématique de stabilité, consistance et convergence sur une équation d'ondes générique formulée à l'ordre 2. Des résultats numériques appliqués à la corde de piano sont mis en relation avec ce travail théorique. L'utilisation de ces techniques récentes permet notamment une nette réduction du temps de calcul par rapport aux méthodes habituellement utilisées pour résoudre ce type de problème, puisqu'elles permettent l'écriture de schémas linéairement implicites à partir d'équations non-linéaires. Cela se fait au prix de problèmes de convergence espace-temps assez marqués.Ensuite, la prise en compte des mouvements de rotation du chevalet permet la transmission fidèle des ondes longitudinales depuis la corde vers la table d'harmonie. Cette modélisation originale permet d'observer des précurseurs longitudinaux et d'étudier l'influence de l'orientation spatiale de la corde sur la transmission des ondes via le chevalet.Par ailleurs, l'utilisation d'un terme de frottement entre le marteau et la corde modifie la génération des ondes longitudinales dans la corde et change son contenu spectral. Nous proposons également une technique de quadratisation novatrice pour des énergies cinétiques non-linéaires et un schéma permettant son intégration numérique. L'application au manche de marteau flexible en rotation autour d'un axe fixe permet d'obtenir un schéma linéairement implicite qui vérifie inconditionnellement un bilan de puissance discret et qui converge à l'ordre 2 en espace-temps.Enfin, tous ces développements contribuent à une meilleure compréhension des mécanismes de propagation des ondes dans l'instrument. L'utilisation d'un modèle multicorps de mécanique de frappe et de données d'enfoncement de touche mesurés en situation de jeu permet alors l'étude de l'influence du toucher pianistique sur la génération des ondes longitudinales et sur le son.Les résultats proposés contribuent à la fois aux domaines des mathématiques numériques et de l'acoustique musicale. Ils permettent d'expliquer plus finement la génération, la propagation et la transmission des ondes longitudinales dans le piano et peuvent avoir des répercussions pour la facture instrumentale. L'analyse du toucher par cette approche de modélisation apporte également une meilleure compréhension, quantitative et nuancée, des possibilités d'expression des musiciens.