Lifting Algebraic Reasoning to Generalized Metric Spaces - TEL - Thèses en ligne
Thèse Année : 2024

Lifting Algebraic Reasoning to Generalized Metric Spaces

Relèvement du raisonnement algébrique aux espaces métriques généralisés

Résumé

Algebraic reasoning is ubiquitous in mathematics and computer science, and it has been generalized to many different settings. In 2016, Mardare, Panangaden, and Plotkin introduced quantitative algebras, that is, metric spaces equipped with operations that are nonexpansive relative to the metric. They proved counterparts to important results in universal algebra, and in particular they provided a sound and complete deduction system generalizing Birkhoff's equational logic by replacing equality with equality up to \varepsilon. This allowed them to give algebraic axiomatizations for several important metrics like the Hausdorff and Kantorovich distances.In this thesis, we make two modifications to Mardare et al.'s framework. First, we replace metrics with a more general notion that captures pseudometrics, partial orders, probabilistic metrics, and more. Second, we do not require the operations in a quantitative algebra to be nonexpansive. We provide a sound and complete deduction system, we construct free quantitative algebras, and we demonstrate the value of our generalization by proving that any monad on generalized metric spaces that lifts a monad on sets can be presented with a quantitative algebraic theory. We apply this last result to obtain an axiomatization for the \L ukaszyk--Karmowski distance.
On retrouve le raisonnement algébrique partout en mathématique et en informatique, et il a déjà été généralisé à pleins de contextes différents. En 2016, Mardare, Panangaden et Plotkin ont introduit les algèbres quantitatives, c'est-à-dire, des espaces métriques équipés d'opérations 1-lipschitzienne relativement à la métrique. Ils ont prouvées des homologues à des résultats importants en algèbre universelle, et en particulier ils ont donné un système de déduction correct et complet qui généralise la logique équationnelle de Birkhoff en remplaçant l'égalité par l'égalité à \varepsilon près. Ça leur a permis de donner une axiomatisation algébrique pour quelques métriques importantes comme la distance de Hausdorff et celle de Kantorovich.Dans cette thèse, on modifie deux aspects du cadre de Mardare et al. Premièrement, on remplace les métriques par une notion plus générale qui englobe les pseudométriques, les ordres partiels, les métriques probabilistes, entre autres. Deuxièmement, on n'exige pas que les operations de nos algèbres quantitatives soient lipschitzienne. On donne un système de déduction correct et complet, on construit les algèbres quantitatives libres, et on démontre la valeur de notre généralisation en prouvant que toute monade sur les espaces métriques généralisés qui est le relèvement d'une monade finitaire sur les ensembles peut être présentée par une théorie algébrique quantitative. On applique ce dernier résultat pour obtenir une axiomatisation de la distance de \L ukaszyk--Karmowski.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04717268 , version 1 (01-10-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04717268 , version 1

Citer

Ralph Sarkis. Lifting Algebraic Reasoning to Generalized Metric Spaces. Logic in Computer Science [cs.LO]. Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON, 2024. English. ⟨NNT : 2024ENSL0025⟩. ⟨tel-04717268⟩
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