Arbitrary-order finite volume schemes preserving positivity for diffusion problems on deformed meshes
Schémas volumes finis positifs d'ordre arbitraire pour l'équation de diffusion sur maillages déformés
Résumé
The objective of this thesis is the development and the analysis of robust and accurate finite volume schemes for the approximation of the solution of the diffusion equation on deformed meshes with diffusion coefficient which can be anisotropic and/or discontinuous. To satisfy these properties, our schemes must preserve the positivity and achieve high-order accuracy. In this manuscript, we propose the first positivity-preserving arbitrary-order scheme for diffusion. Our approach is first to study the problem in 1D. In such a case, the positivity problem only appears for order 3 and higher. The 1D setting allows us to perform the mathematical analysis of this problem, including a proof of convergence of the scheme to an arbitrary order under a stability assumption. We then extend it to 2D at order 2, relying on well-known schemes. We study two possibilities: a DDFV-type scheme (Discrete Duality Finite Volume), which we compare with a method using polynomial reconstruction. Finally, this allows us to develop a monotonic scheme of arbitrary order on any mesh with a kappa diffusion coefficient that can be discontinuous and/or anisotropic. Improving the order is achieved through polynomial reconstruction, and monotonicity is obtained by reducing to a M-matrix structure, which gives nonlinear schemes. Each scheme is validated by numerical simulations showing the order of convergence and the positivity of the solution obtained.
L'objectif de cette thèse est le développement et l'analyse de schémas volumes finis robustes et précis afin d'approcher la solution de l'équation de diffusion sur maillages quelconques avec un coefficient de diffusion qui peut être anisotrope et/ou discontinu. Afin de satisfaire ces propriétés, nos schémas devront préserver la positivité et être d'ordre élevé. Dans ce manuscrit, nous proposons le premier schéma d'ordre arbitraire préservant la positivité pour la diffusion. Notre démarche est tout d'abord d'étudier le problème en 1D. Dans ce cas le problème de positivité n'apparaît qu'à partir de l'ordre 3. D'autre part, la dimension 1 nous permet de faire l'analyse mathématique de ce problème, notamment une preuve de convergence du schéma à un ordre arbitraire sous une hypothèse de stabilité. Ensuite, nous l'étendons en 2D à l'ordre 2, ce qui permet de nous appuyer sur des schémas connus. Nous avons étudié deux possibilités : un schéma type DDFV (Discrete Duality Finite Volume) que l'on compare à une méthode utilisant des reconstructions polynomiales. Enfin, cela nous permet de développer un schéma monotone d'ordre arbitraire sur maillage quelconque avec un coefficient de diffusion kappa qui peut être discontinu et/ou anisotrope. La montée en ordre se fait grâce à une reconstruction polynomiale et la monotonicité s'obtient en se ramenant à une structure de M-matrice, ce qui nous donne des schémas non linéaires. Chaque schéma est validé par des simulations numériques montrant l'ordre de convergence ainsi que la positivité de la solution obtenue.
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