Involutions and Real Flexible Curves on Complex Surfaces
Involutions et courbes flexibles réelles sur des surfaces complexes
Résumé
The first part of Hilbert's sixteenth problem deals with the topology of non-singular real plane algebraic curves in the projective plane. As well-known, many topological properties of such curves are shared with the wider class of flexible curves, introduced by O. Viro in 1984. The goal of this thesis is to further investigate the topological origins of the restrictions on real curves in connection with Hilbert's sixteenth problem. We add a natural condition to the definition of flexible curves, namely that they shall intersect an empty real conic Q like algebraic curves do, i.e. all intersections are positive. We see CP(2) as a cylinder over a lens space L(4,1)×R which is compactified by adding RP(2) and Q respectively to the ends, and we use the induced decomposition of S(4)=CP(2)/conj. It is a standard fact that Arnold's surface plays an essential role in the study of curves of even degree. We introduce an analogue of this surface for curves of odd degree. We generalize the notion of flexible curves further to include non-orientable surfaces as well. We say that a flexible curve is of degree m if its self-intersection is m² and it intersects the conic Q transversely in exactly 2m points. Our main result states that for a not necessarily orientable curve of odd degree 2k+1, its number of non-empty ovals is no larger than χ(F)/2-k²+k+1, where χ(F) is the Euler characteristic of F. This upper bound simplifies to k² in the case of a usual flexible curve. We also generalize our result for flexible curves on quadrics, which provides a new restriction, even for algebraic curves. In the introductory chapters, a thorough survey of the classical theory of real plane curves is outlined, both from the real and the complex points of view. Some results regarding the theory of knotted surfaces in 4-manifolds are laid down. More specifically, we review statements involving the Euler class of normal bundles of embedded surfaces. This eventually leads us to consider the non-orientable genus function of a 4-manifold. This forms a non-orientable counterpart of the Thom conjecture, proved by Kronheimer and Mrowka in 1994 in the orientable case. We almost entirely compute this function in the case of CP(2), and we investigate that function on other 4-manifolds. Finally, we digress around the new notion of non-orientable flexible curves, where we survey which known results still hold in that setting. We also focus on algebraic and flexible curves invariant under a holomorphic involution of CP(2), a smaller class of curves introduced by T. Fiedler and called symmetric curves. We give a state of the art, and we formulate a collection of small results results regarding the position of a symmetric plane curve with respect to the elements of symmetry. We also propose a possible approach to generalize Fiedler's congruence p-n≡k² [16], holding for symmetric M-curves of even degree 2k, into one for symmetric (M-1)-curves of even degree.
La première partie du seizième problème de Hilbert traite de la topologie des courbes algébriques réelles régulières dans le plan projectif. Il est bien connu que bon nombre des propriétés topologiques satisfaites par de telles courbes sont également vraies pour la classe plus large des courbes flexibles, introduites par O. Viro en 1984. Le but de cette thèse est d'approfondir les origines topologiques des restrictions sur les courbes réelles, en lien avec le seizième problème de Hilbert. Nous ajoutons une condition naturelle à la définition de courbe flexible, à savoir qu'elles doivent intersecter une conique réelle vide Q comme une courbe algébrique, c'est-à-dire en des points positifs uniquement. Nous voyons CP(2) comme un cylindre sur un espace lenticulaire L(4,1)×R, que l'on compactifie en ajoutant RP(2) et Q aux bords, et nous utilisons la décomposition induite sur S(4)=CP(2)/conj. C'est un fait standard que la surface d'Arnold joue un rôle essentiel dans l'étude des courbes de degré pair. Nous introduisons un analogue de cette surface pour des courbes de degré impair. Nous généralisons également la notion de courbe flexible pour inclure des surfaces non orientables. Nous considérons qu'une courbe flexible est de degré m si son auto-intersection est m² et si elle intersecte la conique Q de manière transverse en exactement 2m points. Notre résultat principal affirme que pour une telle courbe flexible (non nécessairement orientable) de degré impair m=2k+1 ne peut pas posséder plus de -χ(F)/2-k²+k+1, où χ(F) est la caractéristique d'Euler de F. Cette borne supérieure se simplifie en k² dans le cas d'une courbe flexible au sens usuel. Nous généralisons également notre résultat pour des courbes flexibles sur des quadriques, ce qui produit une nouvelle restriction, même pour des courbes algébriques. Dans les chapitres introductifs, un aperçu détaillé de la théorie classique des courbes réelles planes est fait, en s'appuyant aussi bien sur le point de vue réel que complexe. Certains résultats à propos de la théorie des surfaces nouées dans les 4-variétés sont énoncés. Plus précisément, il est question de faits concernant la classe d'Euler du fibré normal d'une surface plongée. Cela nous amène ensuite à considérer la fonction de genre non-orientable d'une 4-variété. Cela constitue un analogue de la conjecture de Thom (résolue par Kronheimer et Mrowka en 1994) pour des surfaces non orientables. Nous calculons presque totalement cette fonction pour CP(2), et nous étudions cette fonction sur d'autres 4-variétés. Enfin, nous digressons autour de la nouvelle notion de courbes flexibles non orientables, où nous dressons une liste de résultats connus qui restent vrai dans ce cadre. Nous nous concentrons aussi sur la classe des courbes algébriques et flexibles qui sont invariantes sous l'action d'une involution holomorphe de CP(2), une notion introduite par T. Fiedler et appelées courbes symétriques. Nous donnons un état de l'art, et nous formulons une succession de petits résultats à propos de la disposition d'une courbe symétrique par rapport aux éléments de symétrie. Nous proposons également une approche pour tenter de généraliser la congruence de Fiedler p-n≡k² [16], valable pour des M-courbes symétriques de degré 2k, à des (M-1)-courbes symétriques de degré 2k.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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