Cox rings of blow-ups of multiprojective spaces
Anneaux de Cox des éclatements des espaces multiprojectifs
Résumé
This thesis deals with birational geometry, which is a subfield of algebraic geometry. In particular, we study Mori Dream Spaces, which are varieties that are strictly related to the theory of Mori's minimal model program.Mori Dream Spaces were introduced by Y. Hu and S. Keel in the beginning of the 21th century. Roughly speaking, a Mori dream space is a projective variety, whose cone of effective divisors admits a well-behaved decomposition into convex sets, called Mori chambers. These chambers are the nef cones of the birational models of X.Several geometric objects are of fundamental importance if we want to proceed in the study of the birational geometry of a normal projective variety. In particular its cones of curves and of divisors. Another notion of great importance to establish whether a variety is a Mori dream space or not is the property of being weak or log Fano. Weak Fano varieties are log Fano and log Fano varieties are Mori dream spaces. In 2021, T. Grange, E. Postinghel and A. Prendergast-Smith focussed on blow-ups of Pp^{1}timesPp^{2} and of Pp^{1}timesPp^{3} in sets of up to six points in very general position. Their main result is the explicit descriptions of the cones of effectivedivisors on these varieties and the description of the geometry of the generating classes. More explicitly, they proved that the blow-up of Pp^1timesPp^2 is weak Fano if and only if the number of blown up points is less or equal than six and that if the number of blown up points is less or equal than six, the variety Pp^1timesPp^3 is log Fano. Hence, these varieties are also Mori dream spaces. In chapter 2 of this thesis we give an overview on the theory of Cox rings, Mori dream spaces and log Fano varieties. In the first sections we give the definitions of the various cones inside N1(X) and inside po(X) and their inclusion relations. We then give a description of the Cox ring of a variety equipped with an algebraic torus action. We conclude the chapter with the result that permits to find generators for the moving cone of a variety from the generators of its Cox ring. It will follow an explanation on the main results concerning Mori dream spaces and log Fano varieties, and many examples. Finally, we introduce the main object of study of this thesis: the variety X^{1,n}_{r}, which is the blow-up of Pp^{1}timesPp^{n} in r points in general position. In particular, we focus on X^{1,n}_{n+1}, X^{1,n}_{n+2} and on X^{1,n}_{n+3} when nleq4. In chapter 3 we compute the cone of effective curves of X^{1,n}_{r} for r=n+1,n+2 and r=n+3 when nleq4. We then prove that X^{1,n}_{r} is log Fano for rleq n+1. In chapter 4, we compute generators and relations of the Cox ring of X^{1,n}_{n+1}. We then use these generators to compute generators of the moving cone of X^{1,n}_{n+1}. In order to do the computation, we wrote some scripts on Maple and Magma, some of which are provided in chapter 6. At the end of chapter 4 we compute the nef cones of X^{1,n}_{r} for r=n+1,n+2 and for r=n+3 when nleq4. Then, in chapter 5 we also give a Mori chamber decomposition of X^{1,n}_{n+1} in Magma and we display the case n=2.
Cette thèse traite de la géométrie birationnelle, qui est un sous-domaine de la géométrie algébrique. En particulier, nous étudions les Mori dream spaces, qui sont des variétés strictement liées à la théorie du programme de modèle minimal de Mori.Les Mori dream spaces ont été introduits par Y. Hu et S. Keel au début du 21ème siècle. En gros, un Mori dream space est une variété projective dont le cône des diviseurs effectifs admet une décomposition bien conçue en ensembles convexes, appelés chambres de Mori. Ces chambres sont les cônes de nef des modèles birationnels de X. Plusieurs objets géométriques sont d'une importance fondamentale si l'on veut poursuivre l'étude de la géométrie birationnelle d'une variété projective normale. En particulier ses cônes de courbes et de diviseurs. Une autre notion de grande importance pour établir si une variété est un Mori dream space ou non est la propriété d'être weak ou log Fano. Les variétés weak Fano sont log Fano et les variétés log Fano sont Mori dream spaces. En 2021, T. Grange, E. Postinghel et A. Prendergast-Smith se sont concentrés sur les éclatements de Pp^{1}timesPp^{2} et de Pp^{1}timesPp^{3} dans des ensembles allant jusqu'à six points dans une position très générale. Leur résultat principal est la description explicite des cônes de diviseurs effectifs sur ces variétés et la description de la géométrie des classes génératrices. Plus explicitement, ils ont prouvé que l'éclatement de Pp^1timesPp^2 est weak Fano si et seulement si le nombre de points éclatés est inférieur ou égal à six et que si le nombre de points éclatés est inférieur ou égal à six, l'éclatement de la variété Pp^1timesPp^3 est log Fano. Par conséquent, ces variétés sont aussi des Mori dream spaces. Dans le chapitre 2 de cette thèse, nous donnons un aperçu de la théorie des anneaux de Cox, des Mori dream spaces et des variétés log Fano. Dans les premières sections, nous donnons les définitions des différents cônes à l'intérieur de N1(X) et à l'intérieur de po(X) et leurs relations d'inclusion. Nous donnons ensuite une description de l'anneau de Cox d'une variété équipée d'une action de tore algébrique. Nous concluons le chapitre avec le résultat qui permet de trouver des générateurs pour le cône des diviseurs mouvables d'une variété à partir des générateurs de son anneau de Cox. Il s'ensuivra une explication des principaux résultats concernant les Mori dream spaces et les variétés log Fano, ainsi que de nombreux exemples. Enfin, nous introduisons l'objet d'étude principal de cette thèse : la variété X^{1,n}_{r}, qui est l'éclatement de Pp^{1}timesPp^{n} en r points en position générale. En particulier, nous nous concentrons sur X^{1,n}_{n+1}, X^{1,n}_{n+2} et sur X^{1,n}_{n+3} lorsque nleq4. Dans le chapitre 3, nous calculons le cône des courbes effectives de X^{1,n}_{r} pour r=n+1,n+2 et r=n+3 lorsque nleq4. Nous prouvons ensuite que X^{1,n}_{r} est log Fano pour rleq n+1. Dans le chapitre 4, nous calculons les générateurs et les relations de l'anneau de Cox de X^{1,n}_{n+1}. Nous utilisons ensuite ces générateurs pour calculer les générateurs du cône des diviseurs mouvables de X^{1,n}_{n+1}. Pour effectuer ces calculs, nous avons écrit des scripts sur Maple et Magma, dont certains sont fournis dans le chapitre 6. A la fin du chapitre 4, nous calculons les cônes nef de X^{1,n}_{r} pour r=n+1,n+2 et pour r=n+3 lorsque nleq4. Ensuite, dans le chapitre 5, nous donnons aussi une décomposition en chambre de Mori de X^{1,n}_{n+1} dans Magma et nous montrons le cas n=2.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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