Combinatorial and random geometries - a few examples
Géométries combinatoires et aléatoires - quelques exemples
Résumé
This habilitation thesis is a synthesis of the mathematical results I have obtained with my co-authors since defending my doctoral thesis ten years ago.
In it, I present a method for calculating certain observables of the planar Ising model and the planar Abelian sandpile model; introduce new random models: the family of active spanning trees, certain families of determinantal random subgraphs, quantum spanning forests, as well as loop soups twisted by the holonomy of a connection and their isomorphism theorems with Gaussian vector fields; and define as a by-product, via a probabilistic path, a generalization of Symanzik polynomials. All these models are linked by a common structure of combinatorial geometry, of which the multivariate Tutte polynomial is the keystone.
A fascinating aspect of these combinatorial and random geometries is the way in which families of discrete models possess continuous analogs with a similar family structure. I propose an additional conjecture along these lines (the convergence of active spanning trees to the Schramm--Loewner evolution), as well as a theorem that states a variant of this convergence in the case where the underlying graph is a random map.
By studying these discrete statistical physics models, my aim in this text is to highlight examples of links between structure and randomness, having as a motivation the hypothetical construction, in the long run, of random continuous geometric objects (lines, surfaces, fields) whose algebraic structure could be understood thanks to the properties of their discrete analogues.
Ce mémoire est une synthèse des résultats mathématiques que j'ai obtenus avec mes coauteurs depuis la soutenance de ma thèse de doctorat il y a dix ans.
J'y présente une méthode de calcul de certaines observables du modèle d'Ising planaire et du tas de sable abélien planaire; introduis de nouveaux modèles aléatoires : la famille des arbres couvrants actifs, certaines familles de sous-graphes aléatoires déterminantaux, les forêts couvrantes quantiques, ainsi que les soupes de boucles tordues par l'holonomie d'une connexion et leurs théorèmes d'isomorphismes avec des champs de vecteurs gaussiens; et définis ce faisant, par un chemin probabiliste, une généralisation des polynômes de Symanzik. Tous ces modèles sont liés par une structure commune de géométrie combinatoire, dont le polynôme de Tutte multivarié est la clef de voûte.
Un aspect fascinant de ces géométries combinatoires et aléatoires est la façon dont les familles de modèles discrets possèdent des analogues continus ayant une structure en famille similaire. Je propose une conjecture supplémentaire dans ce sens (la convergence des arbres couvrants actifs vers l'évolution de Schramm--Loewner), ainsi qu'un théorème qui énonce une variante de cette convergence dans le cas où le graphe sous-jacent est une carte aléatoire.
En étudiant ces modèles de physique statistique discrets, je m'attache en filigrane dans ce texte à mettre en exergue des exemples de liens entre structure et aléa, avec comme motivation la construction hypothétique à long terme d’objets géométriques continus (lignes, surfaces, champs) aléatoires dont on pourrait comprendre la structure algébrique grâce aux propriétés de leurs analogues discrets.
Mots clés
determinantal probability measures
graph polynomials
matroids
Grassmannian
holonomy
electrical networks
discrete gauge theory
random trees and forests
active spanning trees
planar Abelian sandpile model
loop soups
random walks
discrete vector bundles
covariant Laplacian
Symanzik polynomials
planar Ising model
mesures de probabilité déterminantales
polynômes de graphe
matroïdes
grassmannienne
holonomie
réseaux électriques
théorie de jauge discrète
arbres et forêts aléatoires
marches aléatoires
fibrés vectoriels discrets
laplacien covariant
arbres couvrants actifs
modèle du tas de sable abélien planaire
polynômes de Symanzik
soupes de boucles
modèle d'Ising planaire
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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