Mean Field Methods for Heterogeneous and Coupled Systems
Méthodes de champ moyen pour systèmes hétérogènes et couplés
Résumé
Mean Field methods have consistently been of interest to the scientific community due to their capacity to approximate a wide array of stochastic population systems. This methodology has proven to be a cornerstone in understanding and predicting the behavior of large-scale, complex systems. The key idea of the mean field approximation is to replace the complex stochastic behavior of systems with a simpler deterministic counterpart. The approximation therefore assumes that individuals become increasingly independent for large system sizes. The behavior of the system is thus obtained by replacing individual interactions with the average state of individuals. Despite its longstanding application and the advancements made in various fields, numerous questions and challenges remain open.In the scope of this thesis, we present our contributions and advancements for two general types of population models (1) heterogeneous mean field models and (2) mean field models with fast-changing environment.In the first part of the thesis, we focus on stochastic systems with heterogeneous components. We consider two types of heterogeneity, individual-level diversity as well as graph-structured interactions. For both cases, we provide accuracy bounds for the expected state of finite-sized systems. The results are supported through practical examples, including cache replacement policies, supermarket models, load balancing, and bike-sharing systems, highlighting their computational tractability and precision. In the case of individual-level diversity, we further adapt the refined mean field idea and show that the refined approximation significantly reduces the error and provides accurate predictions for small to moderate-sized systems.In the second part of the thesis, we turn our focus to mean field approximation techniques for stochastic systems with a coupled, fast-changing environment. By studying the `average' mean field approximation, we obtain accuracy bounds for the expected system state. Furthermore, we derive a bias refinement term, which increases the accuracy of the approximation. Expanding on these results, we extend the methodology to stochastic approximation with constant step size and state-dependent Markovian noise. We show how to adapt the ideas to obtain accuracy results and a computable bias extension.
Les méthodes de Champ Moyen ont constamment suscité l'intérêt de la communauté scientifique en raison de leur capacité à approximer une vaste gamme de systèmes stochastiques de populations. Cette méthodologie s'est avérée être une pierre angulaire dans la compréhension et la prédiction du comportement de systèmes complexes à grande échelle.L'idée clé de l'approximation de Champ Moyen est de remplacer le comportement stochastique complexe des systèmes par un équivalent déterministe plus simple. L'approximation suppose donc que les objets deviennent de plus en plus indépendants à mesure que la taille du système augmente. Le comportement des objets au sein du système est ainsi obtenu en remplaçant les interactions individuelles par l'état moyen des objets.Malgré son application de longue date et les avancées réalisées dans divers domaines, de nombreuses questions et défis restent ouverts.Dans le cadre de cette thèse, nous présentons nos contributions et avancées pour deux types généraux de modèles de populations : (1) les modèles de Champ Moyen hétérogènes et (2) les modèles de Champ Moyen avec un environnement à changement rapide.Dans la première partie de la thèse, nous nous concentrons sur les systèmes stochastiques avec des composants hétérogènes. Nous considérons deux types d'hétérogénéité : la diversité au niveau de l'objet ainsi que les interactions structurées en graphe. Pour les deux cas, nous fournissons des limites de précision pour l'état attendu des systèmes de taille finie. Les résultats sont étayés par des exemples pratiques, y compris les politiques de remplacement de cache, les modèles de supermarché, l'équilibrage de charge et les systèmes de partage de vélos, mettant en évidence leur faisabilité computationnelle et leur précision. Dans le cas de la diversité au niveau de l'objet, nous adaptons davantage l'idée de Champ Moyen raffiné et démontrons que l'approximation raffinée réduit considérablement l'erreur et fournit des prédictions précises pour des systèmes de petite à moyenne taille.Dans la seconde partie de la thèse, nous orientons notre attention vers les techniques d'approximation de Champ Moyen pour les systèmes stochastiques avec un environnement couplé à changement rapide. En étudiant l'approximation de Champ Moyen 'moyenne', nous obtenons des limites de précision pour l'état attendu du système. De plus, nous dérivons un terme de raffinement de biais, qui augmente la précision de l'approximation. En développant ces résultats, nous étendons la méthodologie à l'approximation stochastique avec un pas constant et un bruit Markovien dépendant de l'état. Nous montrons comment adapter les idées pour obtenir des résultats de précision et une extension de biais calculable.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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