Submanifolds of the nearly Kähler SL(2,R) x SL(2,R)
Sous-variétés du nearly Kähler SL(2,R) x SL(2,R)
Résumé
A strict nearly Kähler manifold is an almost Hermitian manifold for which thecovariant derivative of the almost complex structure is non-degenerate and skewsymmetric. Strict nearly Kähler manifolds are quite rare. In six dimensions,there are only four homogeneous strict nearly Kähler manifolds: S6, S3 × S3,CP 3 and F (C3). In the pseudo-Riemannian setting, there are six analogues.We consider SL(2, R) × SL(2, R), the analogue of S3 × S3.We first study the strict nearly Kähler structure of SL(2, R) × SL(2, R). Themetric and almost complex structure of are both induced from a pseudo-Riemannian submersion π : SL (2, R)×SL (2, R)×SL(2, R) → SL (2, R)×SL (2, R).We give an expression for the full isometry group.In this space we study different types of submanifolds, such as surfaces,Lagrangian submanifolds or hypersurfaces. We divide Lagrangian submanifoldsinto four different types, which depend on their behavior with respect to analmost product structure P.We classify all totally geodesic and extrinsically homogeneous Lagrangiansubmanifolds. Moreover, we study totally geodesic surfaces and hypersurfaces with constant sectional curvature.
Le but de cette thèse est d’élargir la compréhension de la variété presque kählerienne SL(2,R) × SL(2,R) et de ses sous-variétés. Les variétés presquekähleriennes sont une relaxation riemannienne de la définition de variété Kähler : une variété presque hermitienne (M, g, J) est presque kählerienne si la dérivée covariante de la structure presque complexe est antisymétrique. De plus, afin d’éviter une éventuelle intersection avec les variétés de Kähler, nous exigeons que ∇J soit non dégénéré, ce que nous appelons une variété stricte presque Kähler. Les sous-variétés presque kähleriennes sont l’une des seize classes de variétés presque hermitiennes classées par Gray et Hervella dans [27]. Selon Gray, la classe la plus intéressante, les variétés presque kähleriennes, possèdent de nombreuses propriétés intéressantes. Par exemple, d’un point de vue physique, ce sont les seules variétés à six dimensions à admettre un spineur Killing [23, 28]. De plus, les variétés strictes presque kähleriennes sont intéressantes en géométrie multiplectique car elles sont 2-plectiques [37]. Ils possèdent également de nombreuses propriétés de division utiles. À savoir, étant donné une variété presque kählerienne M, il existe une variété presque kählerienne stricte M1 et une variété de Kähler M2 telle que M = M1 ×M2. Dans les dimensions deux et quatre, variétés presque kähleriennes sont automatiquement variétés de Kähler. Par conséquent, nous trouvons les plus petits exemples intéressants de variétés presque kählerienne en dimension six. En dimension huit, Gray [26] a prouvé qu’une variété presque kählerienne est toujours de Kähler ou le produit d’une variété presque kählerienne stricte à six dimensions avec une surface de Kähler. En dimension dix, Nagy [41] a prouvé qu’une variété presque Kähler est soit Kähler, un produit d’une variété Kähler stricte à six dimensions avec une variété Kähler à quatre dimensions, soit une variété Kähler stricte, qu’il a classée comme espaces de twisteurs au-dessus de variétés Kähler-quaternioniques avec constante d’Einstein positive. [etc] ...
Een strikte nagenoeg-Kählervariëteit is een bijna-Hermitische variëteit waarvoor de covariante afgeleide van de bijna-complexe structuur niet-ontaard en scheefsymmetrisch is. Dergelijke variëteiten zijn vrij zeldzaam. In dimensie zes zijn er slechts vier homogene strikte nagenoeg-Kählervariëteiten: S6, S3 × S3,CP3 en F(C3). In de pseudo-Riemannse setting bestaan er zes analogen. We beschouwen SL(2,R) × SL(2,R), analoog aan S3 × S3.We bestuderen eerst de strikte nagenoeg-Kählerstructuur van SL(2,R)×SL(2,R). De metriek en bijna-complexe structuur zijn beide geïnduceerd door een pseudo-Riemannse submersie SL(2,R)×SL(2,R)×SL(2,R) → SL(2,R)×SL(2,R). We geven een uitdrukking voor de volledige isometriegroep. In deze ruimte bestuderen we verschillende soorten deelvariëteiten, zoals oppervlakken, Lagrangiaanse deelvariëteiten en hyperoppervlakken. Lagrangiaanse deelvariëteiten verdelen we in vier verschillende types, afhankelijk van hun gedrag ten opzichte van een bijna-productstructuur. We classificeren alle totaal geodetische en extrinsiek homogene Lagrangiaanse deelvariëteiten. Bovendien bestuderen we totaal geodetische oppervlakken en hyperoppervlakken met constante sectionele kromming.
Domaines
Géométrie différentielle [math.DG]| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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