Study of the notions of diversity and envy in the context of allocation problem with groups of agents
Étude des notions de diversité et d'envie dans le cadre de problèmes d'affectation avec groupes d'agents
Résumé
The purpose of this thesis is to study the notions of fairness and diversity in resource allocation problems where the agent set is partitionned into types. These concepts have numberous applications, first among them being the Singapour housing allocation problem, which inspired our model. Other applications include allocating students to schools or medical resources to hospital.This work follow to main axis, the first one is about allocation mechanism within the context of a model with diversity constraints, while the second one is about equity between types of agents using the notion en envy.In the first part, we study a model for which, just as the agent set is partitionned into a set of types, the item set is partitionned into a set of blocks, and there are diversity quotas between these types and these blocks. We introduce a dynamic of individual improvement in which agents are allowed to improve their allocation by swapping their item with an other (willing) agent.This dynamic create a notion of stability, for which an allocation is stable if no pair of agent wish to swap their item. We then study the theoretical property of this notion of stability, before considering two different methods for generating allocation. The first one, the lotery mechanism, consists in ordering the set of agents, then allowing each one in turn to pick their favorite item. The second one relies on the dynamic we just introduced: we start from a random allocation, and we apply improving swap between agents until we reach a stable allocation. We then describe several series of experiments made using these mechanisms, and discuss their results.The second main contribution is about the notion of equity, which we consider through the lens of envy and envy-freeness. We define 4 axioms which stands for properties we consider to be critical to a relevant definition of envy. We then list the definitions of envy commonly used in the litterature, and we check whether or not they satisfy the axioms. We then define our own notions of envy, which relies on comparison using subgroups. We first study whether or not they satisfy the axioms, then their computationnal aspects. We then discuss the different possible interpretations of the concept of monotony.We then relax our notions of envy by defining the degree of envy,. However, we show that it is hard to compute, we thus bring forward two ways to approximate its computation. The first and most efficient one relies on a reduction to a variant of the knapsack problem, while the second one uses a succession of samples made using a Markov chain.While the theoretical complexity of this second method is very high, experimental results suggest convergence is in practice much faster.
L'objectif de cette thèse est d'étudier les notions de diversité et d'équité dans le cadre de problèmes d'allocation de ressources où l'ensemble des agents est partitionné en un certain nombre de types.Ces problématiques ont de nombreuses applications, en premier lieu dans le problème qui a inspiré le modèle, l'immobilier de Singapour, mais également dans des problèmes plus divers telles que la répartition des élèves en écoles ou l'allocation des ressources médicales.Les travaux effectués se divisent en deux grands axes, le premier étudie les mécanismes d'allocations dans un contexte où les agents souhaitent se regrouper par types mais sont limités par des quotas de diversité, le deuxième étudie l'équité entre les types eux-mêmes.Dans le cadre du premier axe, nous considérons un modèle qui dispose, en plus d'une partition de l'ensemble des agents en un certain nombre de types, d'une partition de l'ensemble des ressources (ou objets) en un certains nombres de blocs, et de quotas de diversité entre ces types et ces blocs. Nous introduisons dans ce modèle une dynamique d'amélioration en autorisant les agents à effectuer des échanges de ressources bilatéraux. Cette dynamique introduit une notion de stabilité, où une allocation est stable si elle est invariante par cette dynamique.Nous étudions les propriétés de cette notion de stabilité, puis nous considérons deux mécanismes d'allocations. Le premier est le mécanisme de loterie, utilisé en situation réelle, qui consiste à ordonner les agents, puis leur laisser sélectionner leur objet favori chacun leur tour dans l'ordre. Le second, basé sur notre dynamique, consiste à partir d'une allocation quelconque et à appliquer des échanges améliorants jusqu'à atteindre une allocation stable. Nous présentons ensuite plusieurs séries d'expériences effectuées avec ces mécanismes et discutons de leurs résultats.Dans le cadre du deuxième axe, nous discutons de la notion d'équité, au travers de la notion d'envie. Nous posons 4 axiomes qui représentent des propriétés que l'on souhaite retrouver dans une notion d'envie, puis nous listons un certain nombre de définitions utilisées dans la littérature, et nous vérifions lesquelles vérifient quels axiomes.Cela fait, nous définissons nos propres notions d'envies, basées sur des comparaisons utilisant des sous-groupes, et nous les situons par rapport aux axiomes, puis nous discutons de leurs aspects computationnels. Nous explorons ensuite les différentes interprétations possibles du concept de monotonie.Nous introduisons une relaxation de nos notions d'envie, le degré d'envie, que nous montrons difficile à calculer. Nous présentons alors deux méthodes d'approximation. La première, plus efficace, repose sur une réduction à une variante du problème du sac à dos, la deuxième, théoriquement beaucoup plus longue, repose sur une succession d'échantillonnage par une chaîne de Markov.Si les résultats théoriques indiquent que cette deuxième méthode a une complexité beaucoup trop importante pour être utilisable en pratique, une série d'expérience suggère qu'elle serait en réalité bien plus rapide.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|