Crystalline and anisotropic non-linear or non-local curvature flows
Flots de courbure cristalline et anisotrope, non linéaire et non local
Résumé
This thesis is devoted to the study of geometric flows, with particular focus on the mean curvature flow. It is divided in two thematic parts. The first part, Part I, contains Chapters 2,3 and 4, and concerns convergence results for the minimizing movements scheme, which is a variational procedure extending Euler's implicit scheme to evolutions having a gradient flow-like structure. We implement this scheme for anisotropic or crystalline, nonlocal or inhomogeneous curvature flows, in linear and nonlinear instances, and study its convergence towards weak solutions to the flows. In Chapter 4 we also pair this study with a discrete-to-continuum limit. The second part, Part II, is devoted to the study of asymptotic behaviour of volume-preserving curvature flows both in the discrete- and continuus-in-time instances. The main technical tool employed is a new {L}ojasiewicz-Simon inequality suited to the study of these kind of evolutions.
Cette thèse est consacrée à l'étude de flots géométriques, avec un accent particulier sur le flot de la courbure moyenne. La thèse est divisée en deux parties thématiques. La première partie, Partie I, contient les Chapitres 2, 3 et 4, et concerne des résultats de convergence pour le schéma des mouvements minimisants, qui est une procédure variationnelle étendant le schéma implicite d'Euler aux évolutions ayant une structure de type flot gradient. Nous mettons en {oe}uvre ce schéma pour des flots, linéaires ou non linéaires, de la courbure anisotrope ou cristalline, non locale ou inhomogène, et nous étudions sa convergence vers des solutions faibles. Au Chapitre 4, nous associons également cette étude à une limite discrète-continue. La deuxième partie, Partie II, est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des flots de la courbure avec une contrainte de volume, à la fois en temps discret et en temps continu. Le principal outil technique utilisé est une nouvelle inégalité de {L}ojasiewicz-Simon adaptée à l'étude de ce type d'évolutions.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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