Consideration of high-order boundary conditions and numerical analysis of diffusion problems on curved meshes using high-order finite elements.
Prise en compte de conditions aux bords d'ordre élevé et analyse numérique de problèmes de diffusion sur maillages courbes à l'aide d'éléments finis d'ordre élevé.
Résumé
This thesis focuses on the numerical analysis of partial differential equations involving high-order boundary conditions of the Ventcel type using the finite element method. To define the Laplace-Beltrami operator involved in the boundary condition, the domain is assumed to be smooth: thus, the meshed domain does not correspond to the initial physical domain, resulting in a geometric error. We then use curved meshes to reduce this error and define a lift operator that allows comparing the exact solution defined on the initial domain with the approximate solution defined on the discretized domain. We obtain a priori error estimates, expressed in terms of finite element approximation error and geometric error. We study problems with source terms and spectral problems, as well as scalar equations and vector equations of linear elasticity. Numerical experiments in 2D and 3D validate and complement these theoretical results, particularly highlighting the optimality of the obtained errors. These simulations also identify a super-convergence of the errors on quadratic meshes.
Cette thèse porte sur l'analyse numérique d'équations aux dérivées partielles impliquant des conditions de bord d'ordre élevé de type Ventcel en utilisant la méthode des éléments finis. Afin de définir l'opérateur de Laplace-Beltrami intervenant dans la condition au bord, le domaine est supposé lisse : ainsi le domaine maillé ne correspond pas au domaine physique initial, entrainant une erreur géométrique. Nous utilisons alors des maillages courbes afin de réduire cette erreur et définissons un opérateur de lift permettant de comparer la solution exacte définie sur le domaine initial et la solution approchée définie sur le domaine discrétisé. Nous obtenons alors des estimations d'erreur a priori, exprimées en termes d'erreur d'approximation par éléments finis et d'erreur géométrique. Nous étudions des problèmes avec termes sources et des problèmes spectraux ainsi que des équations scalaires et les équations vectorielles de l'élasticité linéaire. Des expériences numériques en 2D et 3D valident et complètent ces résultats théoriques, soulignant en particulier l'optimalité des erreurs obtenues. Ces simulations permettent également d'identifier une super-convergence des erreurs sur les maillages quadratiques.
Domaines
Mathématiques [math]| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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