Self-Assembly on Various Surfaces
Auto-assemblage sur surfaces diverses
Résumé
We investigate tile self-assembly on various types of surfaces. Tile self-assembly is a dynamic process based on square tiles that have four distinguished sides, that can attach to each other under certain conditions. The process starts with a specific predetermined configuration called a seed, and stops if no further tile can be attached. This model can be implemented in practice using DNA nanotechnology and is investigated since the late 1990s. It has been shown theoretically to allow performing arbitrary computations : it is a universal computation model. We study tile self-assembly from the theoretical side. Most works in the area deal with the Euclidean 2D plane. We are interested in studying its behaviour on more complex surfaces. The central question that we ask, is, can we design a tile self-assembly system that can detect the type of surface that it is performed on? We first address this question for the case of four types of flat surfaces: the flat torus, the flat vertical cylinder, the flat horizontal cylinder, and the Euclidean plane. We design a tile self-assembly system in the classic abstract Tile Assembly Model (aTAM) that can be performed on any surface from one of these four types, and that exhibits specific features for each type. More precisely, certain tiles will uniquely appear if the assembly is taking place on one of these types of surfaces. We are also interested in more complex 3D surfaces, that form the surface of objects called polycubes. Polycubes are made from unit cubes that are glued to each other by their faces. Perhaps the most fundamental property of a surface is its genus; informally, it is the number of holes piercing the surface. Our goal is to design a tile self-assembly system that can detect the genus of the underlying polycube surface. In order to perform tile self-assembly on polycubes, we first define a new suitable model, that we call the Surface Flexible Tile Assembly Model (SFTAM). This model extends the aTAM and is inspired by another existing model, the Flexible Tile Assembly Model (FTAM). We design a tile self-assembly system that detects the genus of a special type of polycubes. These polycubes are called order-1 cuboids, and they can have genus 0 or genus 1. In any terminal assembly of our system, if the genus is 1, a tile from a special subset Y of tile types must appear. When the genus is 0, however, tiles of Y never appear in any producible assembly.
Nous étudions l'auto-assemblage par tuiles sur divers types de surfaces. L'auto-assemblage par tuiles est un processus dynamique basé sur des tuiles carrées ayant quatre côtés distingués, qui peuvent s'attacher deux à deux sous certaines conditions. Le processus commence avec une configuration initiale appelée graine, et s'arrête si aucune autre tuile ne peut être ajoutée. Ce modèle peut être implémenté en pratique via les nanotechnologies de l'ADN, et il est étudié depuis la fin des années 1990. Il a été démontré que ce modèle permet de réaliser des calculs arbitraires : il s'agit d'un modèle de calcul universel. Nous étudions l'auto-assemblage par tuiles d'un point de vue théorique. La plupart des travaux sur ce sujet portent sur l'auto-assemblage par tuiles sur le plan Euclidien 2D. Nous nous intéressons à son comportement sur des surfaces plus complexes. La question centrale que nous posons est si l'on peut concevoir un système d'auto-assemblage par tuiles permettant de détecter le type de surface sur laquelle il est effectué ? Nous nous intéressons d'abord au cas de quatre types de surfaces plates : le tore plat, le cylindre vertical plat, le cylindre horizontal plat, et le plan Euclidien. Nous présentons un système d'auto-assemblage par tuiles dans le modèle classique abstract Tile Assembly Model (aTAM). Notre système peut être appliqué sur toute surface appartenant à l'un des quatre types de surfaces, et présente des particularités uniques en fonction du type de surface. Plus précisément, certaines tuiles apparaissent uniquement si l'assemblage a lieu sur l'un de ces types de surfaces. Nous abordons également des surfaces 3D plus complexes : celles d'objets 3D appelés polycubes. Les polycubes sont constitués de cubes unitaires collés les uns aux autres via leurs faces. La propriété la plus fondamentale d'une surface est sans doute son genre ; pour simplifier, il s'agit du nombre de trous qui percent la surface. Notre but est de créer un système d'auto-assemblage par tuiles capable de détecter le genre du polycube sous-jacent. Afin d'effectuer de l'auto-assemblage par tuiles sur la surface d'un polycube, nous définissons tout d'abord un nouveau modèle adapté, appelé Surface Flexible Tile Assembly Model (SFTAM). Ce modèle étend le modèle aTAM et est inspiré par un autre modèle, le Flexible Tile Assembly Model (FTAM). Nous concevons un système d'auto-assemblage par tuiles qui détecte le genre d'un type particulier de polycubes. Ces polycubes sont appelés cuboïdes d'ordre 1, et ils peuvent avoir genre 0 ou genre 1. Notre système est tel que, dans tout assemblage terminal, si le genre est 1, une tuile d'un ensemble particulier Y de types de tuiles apparaît nécessairement. Si le genre est 0, les tuiles dont le type est dans Y n'apparaissent dans aucun assemblage productible.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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