On the interdependence of variables in the study of some equations in fluid mechanics
Sur l'interdépendance des variables dans l'étude de quelques équations de la mécanique des fluides
Résumé
This thesis is devoted to the study of the relationship between the variables in the micropolar fluids equations. This system, which is based on the Navier-Stokes equations, consists in a coupling of two variables: the velocity field vec{u} and the microrotation field vec{w}. Our aim is to provide a better understanding of how information about one variable influences the behavior of the other. To this end, we have divided this thesis into four chapters, where we will study the local regularity properties of Leray-type weak solutions, and later we will focus on the regularity and uniqueness of weak solutions for the stationary case. The first chapter presents a brief physical derivation of the micropolar equations followed by the construction of the Leray-type weak solutions. In Chapter 2, we begin by proving a gain of integrability for both variables vec{u} and vec{w} whenever the velocity belongs to certain Morrey spaces. This result highlights an effect of domination by the velocity. We then show that this effect can also be observed within the framework of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg theory, i.e., under an additional smallness hypothesis only on the gradient of the velocity, we can demonstrate that the solution becomes Hölder continuous. For this, we introduce the notion of a partial suitable solution, which is fundamental in this work and represents one of the main novelties. In the last section of this chapter, we derive similar results in the context of the Serrin criterion. In Chapter 3, we focus on the behavior of the L^3-norm of the velocity vec{u} near possible points where regularity may get lost. More precisely, we establish a blow-up criterion for the L^3 norm of the velocity and we improve this result by presenting a concentration phenomenon. We also verify that the limit point L^infty_t L^3_x of the Serrin criterion remains valid for the micropolar fluids equations. Finally, the problem of existence and uniqueness for the stationary micropolar fluids equations is addressed in Chapter 4. Indeed, we prove the existence of weak solutions (vec{u}, vec{w}) in the natural energy space dot{H}^1(mathbb{R}^3) imes H^1(mathbb{R}^3). Moreover, by using the relationship between the variables, we deduce that these solutions are regular. It is worth noting that the trivial solution may not be unique, and to overcome this difficulty, we develop a Liouville-type theorem. Hence, we demonstrate that by imposing stronger decay at infinity only on vec{u}, we can infer the uniqueness of the trivial solution (vec{u},vec{w})=(0,0).
Cette thèse est consacrée à l'étude de la relation entre les variables dans les équations des fluides micro-polaires. Ce système, basé sur les équations de Navier-Stokes, consiste en un couplage de deux variables: le champ de vitesse vec{u} et le champ de micro-rotation vec{w}. Notre objectif est de mieux comprendre comment l'information concernant une variable influence le comportement de l'autre. À cette fin, nous avons divisé cette thèse en quatre chapitres, où nous étudierons les propriétés de régularité locale des solutions faibles de type Leray, puis nous nous concentrerons sur la régularité et l'unicité des solutions faibles dans le cas stationnaire. Le premier chapitre présente une rapide déduction physique des équations micro-polaires, suivie de la construction des solutions faibles de type Leray. Dans le chapitre 2, nous commençons par prouver un gain d'intégrabilité pour les deux variables vec{u} et vec{w} lorsque la vitesse appartient à certains espaces de Morrey. Ce résultat souligne un effet de domination de la vitesse. Nous montrons ensuite que cet effet peut également être observé dans le cadre de la théorie de Caffarelli-Kohn-Nirenberg, i.e., sous une hypothèse de petitesse supplémentaire uniquement sur le gradient de la vitesse, nous pouvons démontrer que la solution devient Hölder continue. Pour cela, nous introduisons la notion de solution partiellement adaptée, qui est fondamentale dans ce travail et représente l'une des principales nouveautés. Dans la dernière section de ce chapitre, nous obtenons des résultats similaires dans le contexte du critère de Serrin. Dans le chapitre 3, nous nous concentrons sur le comportement de la norme L^3 de la vitesse vec{u} autour des possibles points où la régularité peut être perdue. Plus précisément, nous établissons un critère d'explosion pour la norme L^3 de la vitesse et améliorons ce résultat en présentant un phénomène de concentration. Nous vérifions également que le cas limite L^infty_t L^3_x du critère de Serrin reste valable pour les équations des fluides micro-polaires. Enfin, le problème de l'existence et de l'unicité des équations stationnaires des fluides micro-polaires est abordé dans le chapitre 4. En effet, nous prouvons l'existence de solutions faibles (vec{u}, vec{w}) dans l'espace d'énergie naturel dot{H}^1(mathbb{R}^3) imes H^1(mathbb{R}^3). De plus, en utilisant la relation entre les variables, nous déduisons que ces solutions sont régulières. Il convient de noter que la solution triviale peut ne pas être unique, et pour surmonter cette difficulté, nous développons un théorème de type Liouville. Ainsi, nous démontrons qu'en imposant une décroissance plus forte à l'infini uniquement sur vec{u}, nous pouvons en déduire l'unicité de la solution triviale (vec{u},vec{w})=(0,0).
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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