Thèse Année : 2025

Efficient numerical schemes for evolution equations with singularities and shocks

Schémas numériques efficaces pour les équations d’évolution avec singularités et chocs

Résumé

In this Thesis, we develop efficient numerical schemes for evolution partial differential equations (PDEs) with shocks and singularities. Such PDEs arise in diverse applications, including fluid dynamics, phase transition, and radiation transport.In Chapter 3, we solve the Yee-LeVeque model and its generalization using a novel numerical scheme that perturbs the stiff reaction parameter in a mesh-dependent manner. For this scheme, we establish a maximum principle and entropy inequalities without restrictive assumptions on the mesh-size or the time-step.In Chapter 4, we study the steady neutron transport equation with stiff reaction terms.By applying the edge stabilization technique, we relax some mesh constraints and develop an efficient post-processing technique to remove non-physical oscillations while preserving the positivity and conservation properties of the scheme.In Chapter 5, we focus on the Allen-Cahn equation, a fundamental phase-field model with stiff source terms.Here, we propose a nonlinear scheme for which we prove a maximum principle and derive an optimal energy-error bound with polynomial dependence on the singularity perturbation factor (or reaction parameter).In Chapter 6, we investigate the linear wave equation.Our contributions are novel hp-a priori and a posteriori error bounds, valid even for low-regularity solutions, and an adaptive time refinement scheme driven by our a posteriori error estimators.Numerical experiments across all chapters demonstrate the efficiency and reliability of the proposed schemes.

Dans cette thèse, nous développons des schémas numériques efficaces pour des équations aux dérivées partielles (EDPs) d'évolution présentant des chocs et des singularités. Ces EDPs apparaissent dans divers contextes, notamment en dynamique des fluides, transition de phase et transfert radiatif. Dans le chapitre 3, nous résolvons le modèle de Yee-LeVeque et sa généralisation en utilisant un nouveau schéma numérique qui perturbe le paramètre de réaction de manière dépendante du maillage.Pour ce schéma, nous établissons un principe du maximum et des inégalités d'entropie sans hypothèses restrictives sur la taille du maillage ou du pas de temps. Dans le chapitre 4, nous étudions l'équation du transport neutronique stationnaire avec termes de réaction raide. En appliquant une technique de stabilisation qui pénalise le saut de la dérivée normale à-travers les arêtes, nous relâchons certaines contraintes sur le maillage et développons une technique de post-traitement efficace pour éliminer les oscillations non physiques tout en préservant les propriétés de positivité et de conservation du schéma. Dans le chapitre 5, nous nous concentrons sur l'équation d'Allen-Cahn, un modèle fondamental de champ de phase avec termes sources raide. Nous y proposons un schéma non linéaire pour lequel nous démontrons un principe du maximum et obtenons une borne supérieure optimale en norme d'énergie avec dépendance polynomiale au facteur de perturbation singulière (ou au paramètre de réaction).Dans le chapitre 6, nous étudions l'équation des ondes linéaire. Nos contributions incluent de nouvelles bornes hp d'erreur a priori et a posteriori, valables même pour des solutions de faible régularité, ainsi qu'un schéma de raffinement temporel adaptatif guidé par nos estimateurs d'erreur a posteriori. Les expériences numériques dans tous les chapitres démontrent l'efficacité et la fiabilité des schémas proposés.

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Citer

Zuodong Wang. Schémas numériques efficaces pour les équations d’évolution avec singularités et chocs. Mathématiques [math]. École des Ponts ParisTech, 2025. Français. ⟨NNT : 2025ENPC0024⟩. ⟨tel-05351635⟩
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