Contenu

• 8.1.1 La solution de norme minimale
• 8.1.2 Régularisation mathématique par décomposition en valeurs singulières tronquée

8.1 Régularisation mathématique

8.1.1 La solution de norme minimale

Une approche Tanner consiste à trouver la solution de norme minimale parmi les solutions de (7.2), en résolvant le problème d'optimisation avec contrainte :

$$\left\{ \begin{array}{c} \displaystyle \min_{T\in E} \Vert T \V... ...{\vspace*{6pt}} \displaystyle \mathbf{G}T = V \end{array} \right.$$ (8.1)

La solution de ce problème est simplement :

$$T_r = {\mathbf{G}}^+ \,V$$ (8.2)

où ${\mathbf{G}}^+$ est l'inverse généralisé dit de MOORE-PENROSE de la matrice de modélisation  ${\mathbf{G}}$ :

$${\mathbf{G}}^+ = \mathbf{G}^*(\mathbf{G}\mathbf{G}^*)^{-1}$$ (8.3)

Or, certaines lignes de $\mathbf{G}$ sont au mieux numériquement très proches voire identiques puisque deux couples d'antennes différents peuvent définir la même ligne de base et ainsi fournir deux mesures différentes de la fonction de cohérence spatiale à la même fréquence.

Ainsi, à un instrument idéal correspond une matrice $\mathbf{G}$ dont certaines lignes sont identiques et dont le rang est alors égal à $2N_f-1$ , où $N_f$ est le nombre de fréquences dans la bande passante. Pour un instrument réaliste, même si la matrice est rigoureusement de rang plein, les lignes correspondant aux visibilités redondantes sont numériquement très proches.

Rang, SVD et conditionnement d'une matrice Le rang $r$ d'une matrice $A$ ($M\times N$ ) avec $M<N$ est le nombre de lignes linéairement indépendantes. Si $r=M$ , la matrice est dite de rang plein. Si $r<M$ , la matrice est dite de rang déficient.

La décomposition en valeurs singulières d'une matrice $A$ ($M\times N$ ,$M<N$ ) consiste à décomposer la matrice en un produit de trois matrices $U$ ($M\times M$ ), $\Sigma$ ($M\times N$ ) et $V$ ($N\times N$ ) :

$$A = U \Sigma V^t$$ (8.4)

où $\Sigma$ est de la forme $\left[diag(\sigma_i) (0)_{M(N-M)} \right]$ et $\sigma_i, i=1\ldots M$ sont les valeurs singulières de $A$ classées par ordre croissant. Si $\mathbf{u}_i$ et $\mathbf{v}_i$ (les $M$ premières colonnes de $U$ et $V$ ) sont les vecteurs singuliers à gauche et à droite, alors:

$$A = \sum_{i=1}^{M} \sigma_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^t$$ (8.5)

Le rang d'un matrice est aussi donné par le nombre de valeurs singulières non nulles.

Le conditionnement d'une matrice est donné par le rapport entre la plus petite et la plus grande de ses valeurs singulières :

$$\mathcal{C}(A) = \sigma_{1}/\sigma_{M}$$ (8.6)

Pour un instrument réaliste, le facteur d'amplification du bruit sur les données par l'opérateur $\mathbf{G}^+$ est alors très grand, un majorant de ce facteur étant donné par le conditionnement de la matrice de modélisation :

$$\frac{\vert\vert \Delta T_r \vert\vert _E}{\vert\vert T_r \vert\v... ...mathbf{G}) \frac{\vert\vert \Delta V \vert\vert _F}{\vert\vert V \vert\vert _F}$$ (8.7)

Or, ceci est en contradiction avec l'une des conditions données par HADAMARD et le problème reste mal posé. En effet, un conditionnement de la matrice élevé implique qu'une faible perturbation des données va conduire à une grande perturbation de la solution.

Une solution pour améliorer le conditionnement de $\mathbf{G}^+$ consiste alors à écarter certaines lignes parmi celles qui sont redondantes ou encore à les moyenner. Le moyennage est bien sûr préférable mais une conséquence de cette situation est la diminution du rapport entre la quantité d'information et le nombre d'inconnues d'un système linéaire qui est déjà sous-contraint.

Une solution plus robuste consiste à étudier la répartition des valeurs singulières de $\mathbf{G}$ EricMatresbrunoComp.

8.1.2 Régularisation mathématique par décomposition en valeurs singulières tronquée

L'opérateur $\mathbf{G}^+$ peut être calculé grâce à une décomposition en valeur singulière de $\mathbf{G}$ . Si $\mathbf{G}$ adopte la décomposition suivante,

$$G = \sum_{i=1}^{2N_b-1} \sigma_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^t,$$ (8.8)

alors $\mathbf{G}^+$ est égale à

$$\mathbf{G}^+ = \sum_{i=1}^{2N_b-1} \frac{1}{\sigma_i} \mathbf{v}_i \mathbf{u}_i^t$$ (8.9)

où $\sigma_i$ , $i=1\ldots 2N_b-1$ , sont les valeurs singulières de $\mathbf{G}$ classées par ordre croissant et $\mathbf{u}_i$ et $\mathbf{v}_i$ les vecteurs singuliers à gauche et à droite.

Puisque les valeurs singulières les plus petites sont responsables de l'amplification du bruit, une régularisation possible du problème inverse consiste à construire un opérateur $\mathbf{G}_m^+$ en ne conservant que les $m$ plus grandes valeurs propres (chapt. 3 et 5 dans Hansen) :

$$\mathbf{G}_m^+ = \sum_{i>m} \frac{1}{\sigma_i} \mathbf{v}_i \mathbf{u}_i^t$$ (8.10)

L'information perdue dans les hautes fréquences est ici comblée par une information de nature mathématique. La solution de () par la régularisation dite mathématique est alors :

$$T_r = \mathbf{G}_m^+ V$$ (8.11)

Le nombre $m$ de valeurs singulières écartées joue ici le rôle d'un paramètre de régularisation.