8.2 Régularisation au sens de TIKHONOV

Une autre approche standard en reconstruction d'image consiste à minimiser dans un même temps l'écart aux données et la norme de la solution Tik :

$$\min_{T \in E}\vert\vert V-\mathbf{G}T \vert\vert _F + \mu \vert\vert T \vert\vert _E$$ (8.12)

où $\mu$ est un paramètre de LAGRANGE pondérant l'importance accordée à la minimisation de la norme de la solution. Pour $\mu=0$ , on retrouve le critère de moindres carrés (7.3). Le minimum de la fonctionnelle quadratique (8.12) est aussi solution de l'équation d'Euler :

$$(\mathbf{G}^* \mathbf{G}+ \mu \mathbf{I})T = \mathbf{G}^*V$$ (8.13)

La perturbation de l'opérateur $\mathbf{G}^* \mathbf{G}$ par la matrice diagonale $\mu I$ permet de calculer l'opérateur $\mathbf{G}_\mu^+ = (\mathbf{G}^* \mathbf{G}+ \mu \mathbf{I})^{-1}G^*$ dont propriétés d'amplification du bruit sur les données sont contrôlées par $\mu$ . Il existe alors une valeur optimale de $\mu$ pour laquelle un compromis optimal est atteint entre l'erreur de reconstruction et l'amplification des bruits sur les données. La solution de 8.12 est :

$$T_r = \mathbf{G}_\mu^+ V$$ (8.14)

où $\mu$ est un paramètre de régularisation.