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10.1 Erreur systématique en l'absence de repliement

L'erreur systématique (terme générique regroupant le biais et l'erreur RMS) est ici pour la première fois caractérisée, premièrement, compte tenu de la qualité de l'instrument et deuxièmement, pour des instruments réalistes de type MIRAS et HUT2D, en fonction de la nature de la scène et des fenêtre d'apodisation.

La carte de températures de brillance observée est simulée sur une grille hexagonale de $ N \times N= 128\times 128$ pixels pour MIRAS avec un pas (le même que pour la grille d'échantillonnage de la reconstruction) et une grille $ N\times N=64\times 64$ pour HUT2D avec, de même, un pas . Aucun phénomène de repliement n'est observé, puisque la scène simulée est entièrement comprise dans le champ de vue accessible à la reconstruction.

La scène observée à son plus haut niveau de résolution est notée $ T_o$ . Les visibilités sont simulées à l'aide de la matrice de modélisation $ \mathbf{G}$ d'un instrument réaliste :

(10.1)

La scène retenue est la scène présentée sur la figure 10.4-c.

Etant donnée que même un instrument idéal ne saurait reconstruire la scène observée à son plus haut niveau de résolution, les scènes reconstruites seront comparées à une scène de référence reconstruite à partir des visibilités simulées avec un instrument idéal et à l'aide d'une simple $ \mathcal{TF}$  inverse. Cette scène est bien entendu apodisée ainsi que toutes les reconstructions présentées par la suite :

(10.2)

où, est le gain nominal des antennes toutes identiques de l'instrument idéal (largeur du lobe principal à 66$ ^\circ $ , pas de phase), DXDY  est la facteur d'obliquité (la division et la multiplication s'entendant pixel à pixel) et où sont les visibilités mesurées par cet instrument idéal à partir de $ T_o$ .

L'erreur de reconstruction est alors caractérisée par la statistique de la différence pixel à pixel entre la scène reconstruite et la scène de référence :

$\displaystyle =$ (10.3)
$\displaystyle =$ (10.4)
$\displaystyle =$ (10.5)

où représente un biais et une déviation standard.

Or, même en l'absence de bruit sur les données, l'erreur de reconstruction ( , ) n'est pas nulle (l'exposant 0 signalant l'absence d'erreurs de modélisation et de bruit sur les données).

10.1.1 Erreur systématique et qualité de l'instrument.

Pour un instrument idéal, l'erreur systématique est faible :  K,  K lorsque la scène observée est la scène présentée par la figure 10.4-c (reconstruction apodisée par la fenêtre de BLACKMAN), soit un biais 100 fois plus faible et une erreur RMS 10 fois plus faible que pour un instrument réaliste (voir Tab. 10.2).

Pour étudier cette effet, des simulations-reconstructions ont été effectuées en considérant un instrument idéal (gains d'antennes tous identiques, pas de phase, pas d'effet de décorrélation spatiale) pour une configuration en Y de type MIRAS et que l'on a ensuite perturbé. La fenêtre d'apodisation est la fenêtre de BLACKMAN.

L'objet de cette étude est de montrer, d'une part, la dépendance de l'erreur systématique en la dispersion des caractéristiques de l'instrument par rapport aux valeurs nominales et d'autre part, l'importance d'avoir une faible dispersion des caractéristiques des antennes situées sur le hub central.

Dans un premier temps, une antenne de l'un des bras voit la largeur de son lobe principal augmentée de 10$ ^\circ $ . Nous allons étudier la variation de l'erreur systématique avec la position de cette antenne sur le bras de l'instrument, en perturbant successivement chacune des antennes d'un bras donné, depuis l'antenne la plus au centre du hub vers l'antenne la plus éloignée.

La simulation des visibilités se fait à partir de cet instrument idéal légèrement perturbé. Etant donnée la faible dispersion des gains d'antennes et l'absence d'effet de décorrélation, une reconstruction à partir d'une simple $ \mathcal{TF}$  inverse suffit à donner une information qualitative sur la variation de l'erreur systématique.

La figure 10.1 montre que le biais et la déviation standard diminuent lorsque la distance entre la position de l'antenne perturbée et le centre du hub augmente. Si le biais reste faible (  K), la déviation standard peut atteindre 1.4 K. Une explication possible de ce phénomène est la suivante.

Les antennes proches du hub sont plutôt présentes dans les petites lignes de bases ($ \approx$ basses fréquences) et participent donc à la définition des grandes structures de la scène observée. Inversement, les antennes les plus éloignée sont plutôt impliquées dans la définition des grandes lignes de bases ($ \approx$ hautes fréquences) qui délivrent une information sur les structures à petite échelle de la scène observée.

Considérons deux couples d'antennes définissant deux lignes de bases redondantes correspondant à une même basse fréquence de la bande passante, l'une de ces quatre antennes étant l'antenne perturbée. Etant données ses caractéristiques particulières, cette dernière n'observe pas la même scène que les trois autres. Chacun de ces couples va donc fournir une valeur différente de la fonction de cohérence spatiale à la fréquence correspondante. Le processus de reconstruction, quel qu'il soit, va alors chercher à retrouver une structure à grande échelle dans la scène reconstruite s'accordant au mieux avec ces deux mesures quelque peu contradictoires. L'erreur alors commise sur ces grandes structures de la carte reconstruite est plus importante que lorsqu'elle concerne les structures à plus petite échelle contrôlée par les grandes lignes de bases.

La source de l'erreur de reconstruction semble bien liée au fait qu'une antenne observe une scène différente de celle observée par les autres antennes. J'ai ainsi vérifié que, pour une position donnée de l'antenne perturbée, cette erreur augmente lorsque la largeur du lobe principale de l'antenne perturbée est augmentée ou lorsqu'elle est diminuée (voir Fig. 10.2).

Figure 10.1: Variation du biais (a) et de l'erreur RMS (b) de reconstruction avec la position de l'antenne perturbée. La distance est mesurée depuis le centre du Hub en unité de , la distance entre les antennes d'un même bras.

Figure 10.2: Variation du biais (a) et de l'erreur RMS (b) de reconstruction avec la largeur du lobe de l'antenne perturbée, située ici à du centre du Hub.

Cette étude tend à reconsidérer le radiomètre à synthèse d'ouverture de type MIRAS comme la conjugaison de deux instruments : un instrument basse résolution  composé des antennes situées sur le hub central et un instrument haute résolution composé des antennes situées sur les trois bras déployés. La variation de avec la position d'une antenne perturbée montre que la qualité de la reconstruction est particulièrement dépendante de la faible dispersion des éléments de l'instrument basse résolution par rapport aux valeurs nominales. Ainsi, la répartition des antennes et des récepteurs manufacturés sur l'instrument est une étape déterminante pour le bon fonctionnement de la mission.

10.1.2 Erreur RMS, propriété de la scène et apodisation.

Pour un instrument réaliste donné, l'erreur systématique dépend de la scène et de la fenêtre d'apodisation utilisée. Les scènes 1 et 2 (illustrées par les figures 10.4 et 10.3) ont été élaborées pour contenir peu de composantes à basse fréquence et la scène 3 est la plus réaliste. Pour cette étude, seule l'erreur RMS est considérée.

De même que précédemment (relation (10.1)), les visibilités sont simulées à partir de ces scènes à leur plus haut niveau de résolution et à l'aide de la matrice de modélisation. La scène de référence est définie par la relation (10.2).

Cette même matrice de modélisation $ \mathbf{G}$ est utilisée pour la définition des opérateurs de reconstruction $ \mathbf{G}_m^+$ ($ m$ optimal) et $ \mathbf{A}^+$ , respectivement pour les méthodes de régularisation mathématique et à bande passante limitée. L'apodisation se fait ainsi que le montrent les relations (8.23) et (8.24).

Les tableaux 10.2 et 10.1 indiquent l'erreur pour différentes fenêtres et pour ces trois scènes. Bien entendu, plus la fenêtre a de faibles lobes secondaires, plus l'erreur systématique est faible.

On y trouve aussi des informations sur l'origine de l'énergie contenue dans les visibilités ( ): Moy est l'énergie des visibilités calculée pour une scène uniforme à la température moyenne de $ T_o$ , BF est l'énergie des visibilités calculée pour une version basse fréquence de $ T_o$ et HF pour une version haute fréquence. Le pourcentage est donné par comparaison avec .

La spécificité des scènes 1 et 2 fait d'abord ressortir la caractéristique de la bande passante de chacun des instruments. Pour chaque configuration, cette dernière possède une direction privilégiée, selon l'axe $ V$ (vertical), pour laquelle il possible d'accéder à de plus hautes fréquences. Cette orientation privilégiée est faiblement marquée pour un instrument de type HUT2D (bande passante légèrement rectangle) et fortement marqué pour un instrument de type MIRAS (la pointe de l'étoile est orientée selon l'axe $ V$ et le creux selon l'axe $ U$ (horizontal). Ainsi, l'erreur systématique est-elle plus élevée lorsque la scène observée possède des hautes fréquences selon l'axe $ U$ , c.-à-d. lorsqu'elle est composée de bandes verticales, cet écart étant plus marqué pour une configuration en Y que pour une configuration en U.

La répartition de l'énergie est aussi une source d'explication de la variation de l'erreur systématique avec la nature de la scène : l'erreur est faible si la scène observée est fortement à basse fréquence. Ainsi, la reconstruction de la scène 3 est-elle de bien meilleure qualité pour HUT2D (contribution BF à 11.2% comparé au 3% pour les scènes 1 et 2, jusqu'à deux fois plus petit). Il en est de même pour les scènes 2 et 3 comparées à la scène 1 pour MIRAS (8% et 6% respectivement, comparés à 1% pour la scène 1, est alors 2 à 3 fois plus petit).

L'erreur systématique est aussi sensible à la contribution haute fréquence. Pour des contributions basse fréquence comparable (3% environ, scènes 1 et 2 pour HUT2D), est plus faible lorsque la contribution haute fréquence est la plus faible : % et  K pour la scène 1 et % et  K pour la scène 2, fenêtre de HANNING.

L'erreur systématique varie aussi selon la méthode de reconstruction. La solution à bande passante limitée présente une plus grande erreur systématique, comparée à la solution de la régularisation mathématique, lorsque la contribution des hautes fréquences est élevée. Ainsi, est le plus faible avec l'opérateur pour les scènes 2 et 3 pour MIRAS et uniquement pour la scène 1 pour HUT2D. L'écart entre les méthodes est plus marqué pour la configuration en U que pour la configuration en Y. La résolution de la solution à bande passante limitée étant imposée comme étant celle de l'instrument, il est compréhensible qu'elle ne puisse pas prendre en compte la présence de hautes fréquences dans la scène observée, alors que la résolution n'est pas imposée pour la solution obtenue par la régularisation mathématique. Dans ce cas, même si toutes les scènes sont finalement apodisées et n'ont donc pas de composantes de FOURIER en dehors de la bande passante, le processus de reconstruction conduit à une répartition différente de l'information dans la bande passante, favorisant légèrement les hautes fréquences comparé à la méthode à bande passante limitée.

En conclusion, même en l'absence d'erreur de modélisation ou d'erreur sur les données, il existe une erreur systématique due à la contamination des visibilités par les hautes fréquences de la scène observée. La résolution limitée de l'instrument ne permet pas d'accéder à cette information et moins la scène comportera de composantes à basse fréquence, comme au bord des côtes, plus l'erreur systématique sera importante. La simulation de scènes privilégiant un axe donné du domaine spatial et donc du domaine de FOURIER a permis d'exhiber une orientation privilégiée due à l'asymétrie de la bande passante. L'opérateur $ \mathbf{G}^+$ n'imposant pas de solution à bande passante limitée, l'erreur systématique est dans certain cas légèrement inférieure que pour la solution obtenue avec l'opérateur $ \mathbf{A}^+$ .

Figure 10.3: Scènes synthétiques pour le calcul de l'erreur systématique (configuration en U).
a), scène 1, b), scène 2, c), scène 3.

Figure 10.4: Scènes synthétiques pour le calcul de l'erreur systématique (configuration en Y).
a), scène 1, b), scène 2, c), scène 3.




Table 10.1: Variation de l'erreur systématique  [K] avec la scène observée et la fenêtre d'apodisation (HUT2D).
scène
fenêtre
$ \mathbf{G}_m^+$
$ \mathbf{A}^+$
Moy
BF
HF
Tot
Rectangle
2.097
1.389
Hanning
0.499
0.334
Hamming
0.632
0.424
1
Blackman
0.284
0.187
86.31%
3.31%
6 %
89.62%
Filler D ( )
0.401
0.267
Kaiser( )
0.395
0.263
Mass( )
0.391
0.260
Rectangle
1.588
2.345
Hanning
0.326
0.441
Hamming
0.424
0.595
2
Blackman
0.202
0.258
85.06%
3.59%
2 %
88.66%
Filler D( )
0.272
0.364
Kaiser( )
0.266
0.356
Mass( )
0.265
0.355
Rectangle
0.925
1.113
Hanning
0.177
0.184
Hamming
0.233
0.261
3
Blackman
0.112
0.101
77.53%
11.18%
5 %
88.71%
Filler D( )
0.149
0.151
Kaiser( )
0.146
0.147
Mass( )
0.145
0.146




Table 10.2: Variation de l'erreur systématique  [K] avec la scène observée et la fenêtre d'apodisation (MIRAS).
scène
fenêtre
$ \mathbf{G}_m^+$
$ \mathbf{A}^+$
Moy
BF
HF
Tot
Rectangle
1.081
1.256
Hanning
0.322
0.383
1
Hamming
0.380
0.454
Blackman
0.201
0.236
98.07%
1.33%
2.4 %
99.41%
Filler D( )
0.245
0.290
Kaiser( )
0.317
0.379
Mass( )
0.357
0.427
Rectangle
0.642
0.523
Hanning
0.116
0.101
2
Hamming
0.146
0.125
Blackman
0.081
0.072
87.65%
8.60%
3.6 %
96.25%
Filler D( )
0.094
0.083
Kaiser( )
0.118
0.102
Mass( )
0.135
0.116
Rectangle
0.652
0.602
Hanning
0.118
0.108
Hamming
0.146
0.133
3
Blackman
0.086
0.080
94.09%
6.29%
6.4 %
100.8%
Filler D( )
0.098
0.090
Kaiser( )
0.120
0.109
Mass( )
0.135
0.122

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2005-03-31