Représentations linéaires des tresses infinitésimales
Résumé
This work contributes to the general study of linear representations of Artin's Braid group $B_n$ that arise as monodromy of KZ-systems. We consider these systems as representations of the Hopf algebra of infinitesimal braids, and apply the technique of Gelfand-Tsetlin basis. The purpose is twofold : this technique gives a good insight into the representation theory of this algebra, and we show that it helps in the explicit construction of the corresponding braid group representations. We give a complete classification of KZ-systems that are irreducible for the action of the symmetric group, and build the new representations of $B_n$ that arise at this stage. Among other results that are useful in this setting, we obtain irreducibility criteria on tensor products and related constructions, and get a partial decomposition of the Lie algebra generated by transpositions in the group algebra of the symmetric group. This partial decomposition involves summands of the Jones representation.
L'objet de ce travail est l'étude générale des représentations linéaires dugroupe de tresses $B_n$ qui proviennent de l'intégration de systèmes de Knizhnik-Zamolodchikov (KZ), vus comme représentations de l'algèbre des tressesinfinitésimales. Nous utilisons la technique des bases de Gelfand-Tsetlin pour étudier certaines représentations de cette algèbre, et montrons comment construire explicitement les représentations du groupe d'Artin correspondantes. Nous classifions complètement les systèmes KZ qui sont irréductibles pour l'action du groupesymétrique et construisons les nouvelles représentations de $B_n$ qui apparaissent àcette occasion. Nous obtenons d'autre part des critères d'irréductibilité sur les représentations de $B_n$ obtenues par construction tensorielle. Nous obtenons enfin d'autres résultats utiles dans ce cadre, notamment une décomposition partielle de l'algèbre de Lie engendrée par les transpositions dansl'algèbre de groupe du groupe symétrique. Cette décomposition partielle est en rapport avec les composantes irréductibles de la représentation de Jones.