Numerical methods for nonlinear elliptic and parabolic equations. Application to flow problems in porous and fractured media - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2004

Numerical methods for nonlinear elliptic and parabolic equations. Application to flow problems in porous and fractured media

Méthodes numériques pour des équations elliptiques et paraboliques non linéaires. Application à des problèmes d'écoulement en milieux poreux et fracturés

Abstract

This thesis deals with numerical methods for the discretization of nonlinear elliptic and parabolic convection-reaction-diffusion partial differential equations. We analyze these methods and apply them to the effective simulation of flow and contaminant transport in porous and fractured media. In Chapter 1 we propose a scheme allowing for efficient, robust, conservative, and stable discretizations of nonlinear degenerate parabolic convection-reaction-diffusion equations on unstructured grids in two or three space dimensions. We discretize the diffusion term, which generally involves an inhomogeneous and anisotropic diffusion tensor, by means of the nonconforming or mixed-hybrid finite element method and the other terms by means of the finite volume method. The essential part of this chapter is then devoted to showing the existence and uniqueness of a discrete solution and its convergence to a weak solution of the continuous problem. The proofs permit in particular to avoid restrictive hypotheses on the mesh often used in the literature. We finally propose a version of this scheme for nonmatching grids, combining this time the finite volume method with the piecewise linear conforming finite element method. We then apply this version to contaminant transport simulations in porous media. In Chapter 2 we present a direct proof of the discrete Poincaré-Friedrichs inequalities for a class of nonconforming approximations of the Sobolev space H1, indicate optimal values of the constants in these inequalities, and extend the discrete Friedrichs inequality onto domains only bounded in one direction. The results are important in the analysis of nonconforming numerical methods, such as nonconforming finite element or discontinuous Galerkin methods. In Chapter 3 we show that the lowest-order Raviart-Thomas mixed finite element method for elliptic problems on simplicial meshes in two or three space dimensions is equivalent to a particular multi-point finite volume scheme. We study this scheme and apply it to the discretization of nonlinear parabolic convection-reaction-diffusion equations. This approach allows significant reduction of the computational time of the mixed finite element method without any loss of its high precision, which is confirmed by numerical experiments. Finally, in Chapter 4 we propose a version of the lowest-order Raviart-Thomas mixed finite element method for the approximation of elliptic problems on a system of two-dimensional polygons placed in three-dimensional space, prove that it is well-posed, and study its relation to the nonconforming finite element method. These results are finally applied to the simulation of underground water flow through a system of polygons representing a network of fractures that perturbs a rock massif.
Les travaux de cette thèse portent sur des méthodes numériques pour la discrétisation d'équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques de convection-réaction-diffusion non linéaires. Nous analysons ces méthodes et nous les appliquons à la simulation effective de l'écoulement et du transport de contaminants en milieux poreux et fracturés. Au chapitre 1, nous proposons un schéma permettant une discrétisation efficace, robuste, conservative et stable des équations de convection-réaction-diffusion non linéaires paraboliques dégénérées sur des maillages non structurés en dimensions deux ou trois d'espace. Nous discrétisons le terme de diffusion, qui contient en général un tenseur de diffusion inhomogène et anisotrope, par la méthode des éléments finis non conformes ou mixtes-hybrides et les autres termes par la méthode des volumes finis. La partie essentielle du chapitre est ensuite consacrée à montrer l'existence et l'unicité d'une solution discrète et sa convergence vers une solution faible du problème continu. La méthode de démonstration permet en particulier d'éviter des hypothèses restrictives sur le maillage souvent présentes dans la littérature. Nous proposons finalement une variante de ce schéma pour des maillages qui ne se raccordent pas, couplant cette fois la méthode des volumes finis avec celle des éléments finis conformes, et nous l'appliquons à la simulation du transport de contaminants en milieux poreux. Au chapitre 2, nous présentons une démonstration constructive des inégalités de Poincaré-Friedrichs discrètes pour une classe d'approximations non conformes de l'espace de Sobolev H1, indiquons les valeurs optimales des constantes dans ces inégalités et montrons l'inégalité de Friedrichs discrète pour des domaines bornés dans une direction uniquement. Ces résultats sont importants dans l'analyse de méthodes numériques non conformes, comme les méthodes d'éléments finis non conformes ou de Galerkin discontinu. Au chapitre 3, nous montrons que la méthode des éléments finis mixtes de Raviart-Thomas de plus bas degré pour des problèmes elliptiques en dimension deux ou trois d'espace est équivalente à un schéma de volumes finis à plusieurs points. Après avoir étudié ce schéma, nous l'appliquons à la discrétisation d'équations de convection-réaction-diffusion paraboliques non linéaires. Cette approche permet de réduire le temps de calcul de la méthode des éléments finis mixtes, tout en conservant sa très grande précision, ce qui est confirmé par les tests numériques. Enfin, au chapitre 4, nous proposons une version de la méthode des éléments finis mixtes de Raviart-Thomas de plus bas degré pour la résolution de problèmes elliptiques sur un système de polygones bidimensionnels placés dans l'espace tridimensionnel, démontrons qu'elle est bien posée et étudions sa relation avec la méthode des éléments finis non conformes. Ces résultats sont finalement appliqués à la simulation de l'écoulement de l'eau souterraine dans un système de polygones représentant un réseau de fractures perturbant un massif rocheux.
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Cite

Martin Vohralík. Numerical methods for nonlinear elliptic and parabolic equations. Application to flow problems in porous and fractured media. Modeling and Simulation. Université Paris Sud - Paris XI, 2004. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00008451⟩
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