Etude asymptotique et transcendance de la fonction
valeur en contrôle optimal. Catégorie log-exp en géométrie sous-Riemannienne dans le cas Martinet.
Résumé
The main subject of this work is the study and the role of
abnormal trajectories in optimal control theory.
We first recall some fundamental results in optimal control. Then
we investigate the optimality of abnormal trajectories for
single-input affine systems with constraint on the control, first
for the time-optimal problem, and then for any cost, the final
time being fixed or not.
Using such an affine system,
we extend this theory to sub-Riemannian systems of rank 2.
These results show that, under general conditions, an abnormal
trajectory is \it{isolated} among all solutions of the system
having the same limit conditions, and thus is \it{locally
optimal}, until a first \it{conjugate point} which can be
characterized.
Then we investigate the asymptotic behaviour and the regularity
of the value function associated to an analytic affine system
with a quadratic cost. We prove that, if there is no abnormal
minimizer, then the value function is \it{subanalytic and
continuous}. If there exists an abnormal minimizer, the
subanalytic category is not large enough in general, notably in
sub-Riemannian geometry. The existence of an abnormal minimizer
is responsible for \it{non-properness} of the exponential
mapping, which implies a phenomenon of \it{tangency} of the level
sets of the value function with respect to the abnormal
direction. In the single-input affine case, or in the
sub-Riemannian case of rank 2, we describe precisely this
contact, and we get a partition of the sub-Riemannian sphere near
the abnormal into two sectors called \it{$L^\infty$-sector} and
\it{$L^2$-sector}.\\
The question of transcendence is studied in the Martinet
sub-Riemannian case where the distribution is
$\Delta=\rm{Ker }(dz-\f{y^2}{2}dx)$. We prove that for a general
gradated metric of order $0$~:
$g=(1+\alpha y)^2dx^2+(1+\beta x+\gamma y)^2dy^2$,
spheres with small radii \it{are not subanalytic}. In the general
integrable case where $g=a(y)dx^2+c(y)dy^2$, with $a$ and $c$
analytic, Martinet spheres belong to the \it{log-exp category}.
abnormal trajectories in optimal control theory.
We first recall some fundamental results in optimal control. Then
we investigate the optimality of abnormal trajectories for
single-input affine systems with constraint on the control, first
for the time-optimal problem, and then for any cost, the final
time being fixed or not.
Using such an affine system,
we extend this theory to sub-Riemannian systems of rank 2.
These results show that, under general conditions, an abnormal
trajectory is \it{isolated} among all solutions of the system
having the same limit conditions, and thus is \it{locally
optimal}, until a first \it{conjugate point} which can be
characterized.
Then we investigate the asymptotic behaviour and the regularity
of the value function associated to an analytic affine system
with a quadratic cost. We prove that, if there is no abnormal
minimizer, then the value function is \it{subanalytic and
continuous}. If there exists an abnormal minimizer, the
subanalytic category is not large enough in general, notably in
sub-Riemannian geometry. The existence of an abnormal minimizer
is responsible for \it{non-properness} of the exponential
mapping, which implies a phenomenon of \it{tangency} of the level
sets of the value function with respect to the abnormal
direction. In the single-input affine case, or in the
sub-Riemannian case of rank 2, we describe precisely this
contact, and we get a partition of the sub-Riemannian sphere near
the abnormal into two sectors called \it{$L^\infty$-sector} and
\it{$L^2$-sector}.\\
The question of transcendence is studied in the Martinet
sub-Riemannian case where the distribution is
$\Delta=\rm{Ker }(dz-\f{y^2}{2}dx)$. We prove that for a general
gradated metric of order $0$~:
$g=(1+\alpha y)^2dx^2+(1+\beta x+\gamma y)^2dy^2$,
spheres with small radii \it{are not subanalytic}. In the general
integrable case where $g=a(y)dx^2+c(y)dy^2$, with $a$ and $c$
analytic, Martinet spheres belong to the \it{log-exp category}.
Le thème central de cette thèse est l'étude et le rôle des
trajectoires anormales en théorie du contrôle optimal.
Après avoir rappelé quelques résultats fondamentaux en contrôle
optimal, on étudie l'optimalité des
anormales pour des systèmes affines mono-entrée avec contrainte
sur le contrôle, d'abord pour le problème du temps optimal, puis
pour un coût quelconque à temps final fixé ou non.
On étend cette théorie aux
systèmes sous-Riemanniens de rang 2, montrant qu'on se ramène
à un système affine du type précédent.
Ces résultats montrent que,
sous des conditions générales, une trajectoire anormale est
\it{isolée} parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes
conditions aux limites, et donc \it{localement optimale}, jusqu'à
un premier point dit \it{conjugué} que l'on peut caractériser.
On s'intéresse ensuite
au comportement asymptotique et à la
régularité de la fonction valeur associée à un système affine
analytique avec un coût quadratique. On montre que, en
l'absence de trajectoire
anormale minimisante, la fonction valeur est
\it{sous-analytique et continue}. S'il existe une anormale
minimisante, on sort de la catégorie sous-analytique en général,
notamment en géométrie sous-Riemannienne. La présence d'une
anormale minimisante est responsable de la \it{non-propreté} de
l'application exponentielle, ce qui provoque un phénomène de
\it{tangence} des ensembles de niveaux de la fonction valeur par
rapport à la direction anormale. Dans le cas affine mono-entrée
ou sous-Riemannien de rang 2, on décrit précisément ce
contact, et on en déduit une partition de la
sphère sous-Riemannienne au voisinage de l'anormale
en deux secteurs appelés \it{secteur
$L^\infty$} et \it{secteur $L^2$}.\\
La question de transcendance est étudiée dans le cas
sous-Riemannien de Martinet où la distribution est
$\Delta=\rm{Ker }(dz-\f{y^2}{2}dx)$. On montre que
pour une métrique générale graduée d'ordre $0$~:
$g=(1+\alpha y)^2dx^2+(1+\beta x+\gamma y)^2dy^2$,
les sphères de petit rayon
\it{ne sont pas sous-analytiques}. Dans le cas général
intégrable où $g=a(y)dx^2+c(y)dy^2$, avec $a$ et $c$ analytiques,
les sphères de Martinet appartiennent à la
\it{catégorie log-exp}.
trajectoires anormales en théorie du contrôle optimal.
Après avoir rappelé quelques résultats fondamentaux en contrôle
optimal, on étudie l'optimalité des
anormales pour des systèmes affines mono-entrée avec contrainte
sur le contrôle, d'abord pour le problème du temps optimal, puis
pour un coût quelconque à temps final fixé ou non.
On étend cette théorie aux
systèmes sous-Riemanniens de rang 2, montrant qu'on se ramène
à un système affine du type précédent.
Ces résultats montrent que,
sous des conditions générales, une trajectoire anormale est
\it{isolée} parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes
conditions aux limites, et donc \it{localement optimale}, jusqu'à
un premier point dit \it{conjugué} que l'on peut caractériser.
On s'intéresse ensuite
au comportement asymptotique et à la
régularité de la fonction valeur associée à un système affine
analytique avec un coût quadratique. On montre que, en
l'absence de trajectoire
anormale minimisante, la fonction valeur est
\it{sous-analytique et continue}. S'il existe une anormale
minimisante, on sort de la catégorie sous-analytique en général,
notamment en géométrie sous-Riemannienne. La présence d'une
anormale minimisante est responsable de la \it{non-propreté} de
l'application exponentielle, ce qui provoque un phénomène de
\it{tangence} des ensembles de niveaux de la fonction valeur par
rapport à la direction anormale. Dans le cas affine mono-entrée
ou sous-Riemannien de rang 2, on décrit précisément ce
contact, et on en déduit une partition de la
sphère sous-Riemannienne au voisinage de l'anormale
en deux secteurs appelés \it{secteur
$L^\infty$} et \it{secteur $L^2$}.\\
La question de transcendance est étudiée dans le cas
sous-Riemannien de Martinet où la distribution est
$\Delta=\rm{Ker }(dz-\f{y^2}{2}dx)$. On montre que
pour une métrique générale graduée d'ordre $0$~:
$g=(1+\alpha y)^2dx^2+(1+\beta x+\gamma y)^2dy^2$,
les sphères de petit rayon
\it{ne sont pas sous-analytiques}. Dans le cas général
intégrable où $g=a(y)dx^2+c(y)dy^2$, avec $a$ et $c$ analytiques,
les sphères de Martinet appartiennent à la
\it{catégorie log-exp}.