Geometry of surfaces :
from the estimation of local differential quantities
to the robust extraction of global differential
features
Géométrie des surfaces :
de l'estimation des quantités différentielles locales
à l'extraction robuste d'éléments caractéristiques
globaux
Résumé
This research work relates to the geometrical aspects of mathematics and computer sciences.
It is motivated by applications such as computer aided design, medical imaging, scientific computations
and simulations or also virtual reality and multimedia. More precisely, this thesis
proposes an analysis of some local as well as global topics of the geometry of surfaces.
From a local point of view, the problem is the estimation of the normal, the curvatures and
quantities of higher order from points sampled on a smooth surface. A method of estimation using
polynomial fitting is studied: the properties of convergence are established and an algorithm
is proposed and implemented.
From a global point of view, we analyze the lines of extreme curvature on surfaces, called
ridges. For a surface discretized by a mesh, precise sampling conditions are given, and if
they are fulfilled, an algorithm reporting a certified topological approximation of the ridges
is developed. In the case of a parameterized surface, we show that the ridges have a global
implicit structure, and we characterize the singularities of this curve in the parametric domain
with zero-dimensional systems. For a polynomial parameterization, these equations are also
polynomial, and specific methods of computer algebra are developed to compute the topology
of the singular curve of the ridges.
It is motivated by applications such as computer aided design, medical imaging, scientific computations
and simulations or also virtual reality and multimedia. More precisely, this thesis
proposes an analysis of some local as well as global topics of the geometry of surfaces.
From a local point of view, the problem is the estimation of the normal, the curvatures and
quantities of higher order from points sampled on a smooth surface. A method of estimation using
polynomial fitting is studied: the properties of convergence are established and an algorithm
is proposed and implemented.
From a global point of view, we analyze the lines of extreme curvature on surfaces, called
ridges. For a surface discretized by a mesh, precise sampling conditions are given, and if
they are fulfilled, an algorithm reporting a certified topological approximation of the ridges
is developed. In the case of a parameterized surface, we show that the ridges have a global
implicit structure, and we characterize the singularities of this curve in the parametric domain
with zero-dimensional systems. For a polynomial parameterization, these equations are also
polynomial, and specific methods of computer algebra are developed to compute the topology
of the singular curve of the ridges.
Ce travail de recherche porte sur les aspects géométriques desmathématiques et de l'informatique.
Il est fortement motivé par des applications telles que la conception assistée par ordinateur,
l'imagerie médicale, le calcul scientifique et la simulation ou encore la réalité virtuelle et
le multimédia. Plus précisément, cette thèse propose une analyse de la géométrie des surfaces
tant d'un point de vue local que global.
Tout d'abord, étant donnée une surface lisse connue via un échantillonnage, nous étudions le
problème de l'estimation des quantités différentielles locales: normale, courbures et quantités
d'ordre supérieur. Une méthode d'estimation utilisant un ajustement polynomial est développée:
les propriétés de convergence sont établies et un algorithme est proposé et implémenté.
D'un point de vue global, nous analysons les lignes d'extrême de courbure sur une surface,
appelées ridges. Pour le cas d'une surface discrétisée par un maillage, des conditions
précises d'échantillonnage sont données, et sous ces hypothèses, un algorithme produisant une
approximation topologiquement certifiée des ridges est développé. Dans le cas d'une surface
paramétrée, nous établissons que les ridges ont une structure implicite globale, et étudions les
singularités de la courbe associée dans le domaine de paramétrage en termes de systèmes zerodimensionnels.
Pour une paramétrisation polynomiale, ces équations sont aussi polynomiales
et des méthodes spécifiques de calcul formel sont développées pour calculer la topologie de la
courbe singulière des ridges.
Il est fortement motivé par des applications telles que la conception assistée par ordinateur,
l'imagerie médicale, le calcul scientifique et la simulation ou encore la réalité virtuelle et
le multimédia. Plus précisément, cette thèse propose une analyse de la géométrie des surfaces
tant d'un point de vue local que global.
Tout d'abord, étant donnée une surface lisse connue via un échantillonnage, nous étudions le
problème de l'estimation des quantités différentielles locales: normale, courbures et quantités
d'ordre supérieur. Une méthode d'estimation utilisant un ajustement polynomial est développée:
les propriétés de convergence sont établies et un algorithme est proposé et implémenté.
D'un point de vue global, nous analysons les lignes d'extrême de courbure sur une surface,
appelées ridges. Pour le cas d'une surface discrétisée par un maillage, des conditions
précises d'échantillonnage sont données, et sous ces hypothèses, un algorithme produisant une
approximation topologiquement certifiée des ridges est développé. Dans le cas d'une surface
paramétrée, nous établissons que les ridges ont une structure implicite globale, et étudions les
singularités de la courbe associée dans le domaine de paramétrage en termes de systèmes zerodimensionnels.
Pour une paramétrisation polynomiale, ces équations sont aussi polynomiales
et des méthodes spécifiques de calcul formel sont développées pour calculer la topologie de la
courbe singulière des ridges.