Surfaces and finite type invariants in dimension 3 - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2006

Surfaces and finite type invariants in dimension 3

Surfaces et invariants de type fini en dimension 3

(1)
1
Emmanuel Auclair
  • Function : Author
  • PersonId : 836668

Abstract

The main topic of this work is the theory of finite type invariants of homology 3-spheres, developed by Ohtsuki, Le, Garoufalidis, Goussarov, Habiro and others. In a first part, the variation of a degree 2n invariant after surgery along a surface with respect to an element of the 2n-th term of the lower central series of the Torelli group is studied. For a commutator of 2n elements of the Torelli group, this variation is expressed in terms of the Johnson homomorphism of the 2n elements and of the weight system of the invariant.

The clasper calculus of Goussarov and Habiro gives topological equivalences between surgeries on embedded handlebodies in 3-manifolds. This calculus has already been crucial in order to describe the behaviour of the finite type invariants under many topological modifications. In the second part, the clasper calculus is refined. This
refinement allows us to give a geometric surgery formula for the degree 4 invariants. The variation of a degree $4$ invariant after surgery on a knot is expressed in terms of invariants of embedded curves in a regular neighbourhood of a Seifert surface of the knot.
Cette thèse porte sur les invariants des sphères d'homologie entière de dimension 3, et en particulier sur les invariants de type fini pour la filtration de Goussarov-Habiro.
Dans une première partie, on étudie la variation d'un invariant de degré 2n après chirurgie le long d'une surface par un élément du 2n-ième terme de la série centrale descendante du groupe de Torelli. Dans le cas d'un commutateur de 2n éléments du groupe de Torelli, on exprime cette variation en fonction de l'homomorphisme de Johnson évalué sur ces 2n éléments et du système de poids de l'invariant.

Le calcul des claspers de Goussarov-Habiro donne des équivalences topologiques entre des chirurgies sur des corps en anses plongés dans les variétés. Ce calcul a déjà permis de préciser le comportement des invariants de type fini lors de nombreuses modifications topologiques. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à un raffinement de ce calcul. Ce raffinement est ensuite appliqué à l'obtention d'une formule de chirurgie géométrique sur les noeuds pour les invariants de degré 4, c'est-à-dire que l'on exprime la variation d'un tel invariant après chirurgie sur un noeud en fonction d'invariants de courbes tracées au voisinage d'une surface de Seifert de ce noeud.
Fichier principal
Vignette du fichier
These.pdf (2.76 Mo) Télécharger le fichier
Vignette du fichier
TransSoutenance.pdf (187.66 Ko) Télécharger le fichier
Format : Other

Dates and versions

tel-00113863 , version 1 (14-11-2006)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00113863 , version 1

Cite

Emmanuel Auclair. Surfaces et invariants de type fini en dimension 3. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00113863⟩
315 View
839 Download

Share

Gmail Facebook Twitter LinkedIn More