Non-Linear Computational Geometry for Lines and Quadrics in Three Dimensions
Problèmes de Géométrie Algorithmique sur les Droites et les Quadriques en Trois Dimensions
Résumé
This Habilitation thesis presents my main work over the last years in non-linear computational geometry. I present two bodies of work, one on the design and implementation of certified and efficient geometric algorithms for non-linear primitives, in particular quadrics, the other on the properties of lines in space in the context of 3D visibility problems.
Concerning quadrics, my main achievement has been the completion of the first-ever exact, complete, near-optimal and efficient algorithm and implementation for parameterizing the intersection of two quadrics in three-dimensional real projective space. This contribution is a considerable breakthrough on a long-standing open problem and it is the first complete and robust solution to one of the most basic problems of solid modeling by implicit curved surfaces. I also present some very nice results on Voronoi diagrams of three lines, a partition of the space in cells bounded by quadric patches. We show that the topology of such diagrams is invariant for lines in general position and we obtain a monotonicity property on the arcs of the diagram. We deduce a simple algorithm for sorting points along such an arc, which is presumably of great interest for future efficient algorithms for computing the medial axis of a polyhedron. The proof technique, which relies heavily upon modern tools of computer algebra, is also interesting in its own right.
Concerning the properties of lines in space in the context of 3D visibility problems, I present a body of results that address several issues. I first present results on the structural properties of lines that are tangent or transversal to four primitives. In particular, I present a characterization of the degenerate configurations of four spheres that admit infinitely many common tangent, a characterization of the set of line transversals to four segments, and a study of the worst-case number of tangents to four triangles. Second, I present several results on the combinatorial properties of geometric structures in the context of 3D visibility. In particular, I present several important results on the complexity of the silhouette of a polyhedron from a random viewpoint and on the worst-case and expected complexity of the visibility complex, a data structure that encode visibility information. I also present some new surprising bounds on the worst-case complexity of the umbra cast on a plane by polygonal light sources in the presence of convex polyhedral obstacles. Finally, I present the first non-trivial implementable algorithm for computing the set of segments tangent to four among k possibly intersecting convex polyhedra, that is, roughly speaking, the vertices of the visibility complex.
Concerning quadrics, my main achievement has been the completion of the first-ever exact, complete, near-optimal and efficient algorithm and implementation for parameterizing the intersection of two quadrics in three-dimensional real projective space. This contribution is a considerable breakthrough on a long-standing open problem and it is the first complete and robust solution to one of the most basic problems of solid modeling by implicit curved surfaces. I also present some very nice results on Voronoi diagrams of three lines, a partition of the space in cells bounded by quadric patches. We show that the topology of such diagrams is invariant for lines in general position and we obtain a monotonicity property on the arcs of the diagram. We deduce a simple algorithm for sorting points along such an arc, which is presumably of great interest for future efficient algorithms for computing the medial axis of a polyhedron. The proof technique, which relies heavily upon modern tools of computer algebra, is also interesting in its own right.
Concerning the properties of lines in space in the context of 3D visibility problems, I present a body of results that address several issues. I first present results on the structural properties of lines that are tangent or transversal to four primitives. In particular, I present a characterization of the degenerate configurations of four spheres that admit infinitely many common tangent, a characterization of the set of line transversals to four segments, and a study of the worst-case number of tangents to four triangles. Second, I present several results on the combinatorial properties of geometric structures in the context of 3D visibility. In particular, I present several important results on the complexity of the silhouette of a polyhedron from a random viewpoint and on the worst-case and expected complexity of the visibility complex, a data structure that encode visibility information. I also present some new surprising bounds on the worst-case complexity of the umbra cast on a plane by polygonal light sources in the presence of convex polyhedral obstacles. Finally, I present the first non-trivial implementable algorithm for computing the set of segments tangent to four among k possibly intersecting convex polyhedra, that is, roughly speaking, the vertices of the visibility complex.
Cette thèse présente un ensemble de travaux en géométrie algorithmique non linéaire portant d'une
part sur le développement d'algorithmes géométriques certifiés et efficaces traitant d'objets courbes et, en particulier, de quadriques et, d'autre part, sur les propriétés des droites de l'espace dans un contexte de visibilité tridimensionnelle.
Ma réalisation principale concernant les quadriques est le développement du premier algorithme exacte, complet, quasi optimal et efficace pour calculer une paramétrisation de l'intersection de deux quadriques en trois dimensions. Cette contribution est une avancée très importante sur un problème ancien et c'est la première solution complète et certifiée à l'un des problèmes les plus élémentaires de modélisation par surfaces courbes implicites. Je présente également un très joli résultat sur les diagrammes de Voronoï de trois droites qui sont des partitions de l'espace en cellules bornées par des morceaux de quadriques. Nous montrons que la topologie de tels diagrammes est invariante pour des droites en positions générales et nous obtenons une propriété de monotonie sur les arcs des diagrammes. Nous en déduisons un algorithme simple pour ordonner des points le long de ces arcs, ce qui est vraisemblablement une avancée substantielle pour le développement futur d'algorithmes efficaces pour calculer l'axe médian de polyèdres. La technique de preuve, qui utilise fortement les outils modernes de calcul formel, est également intéressante en elle même.
Concernant les propriétés des droites de l'espace dans un contexte de visibilité tridimensionnelle, je présente un ensemble de résultats cohérents sur différentes problématiques. En premier lieu, je présente des résultats sur les propriétés structurelles des droites tangentes ou transversales à quatre primitives. Précisément, je présente une caractérisation des configurations dégénérées de quatre sphères qui admettent un nombre infini de tangentes communes, une caractérisation de l'ensemble des droites transversales à quatre segments, et une étude du nombre maximum de tangentes à quatre triangles. Je présente ensuite plusieurs résultats sur les propriétés combinatoires de structures géométriques de visibilité tridimensionnelle. En particulier, je présente plusieurs résultats importants sur la complexité des silhouettes de polyèdres depuis un point de vu aléatoire et sur la complexité en moyenne et dans le cas le pire du complexe de visibilité, une structure de données encodant des informations de visibilité. Je présente également de nouvelles bornes étonnantes sur la complexité dans le cas le pire de l'ombre portée sur un plan par une source lumineuse polygonale en présence d'obstacles polyédriques convexes. En dernier lieu, je présente le premier algorithme non trivial et implantable pour calculer l'ensemble des segments tangents à quatre parmi $k$ polyèdres convexes non nécessairement disjoints, c'est-à-dire, essentiellement les sommets du complexe de visibilité.
part sur le développement d'algorithmes géométriques certifiés et efficaces traitant d'objets courbes et, en particulier, de quadriques et, d'autre part, sur les propriétés des droites de l'espace dans un contexte de visibilité tridimensionnelle.
Ma réalisation principale concernant les quadriques est le développement du premier algorithme exacte, complet, quasi optimal et efficace pour calculer une paramétrisation de l'intersection de deux quadriques en trois dimensions. Cette contribution est une avancée très importante sur un problème ancien et c'est la première solution complète et certifiée à l'un des problèmes les plus élémentaires de modélisation par surfaces courbes implicites. Je présente également un très joli résultat sur les diagrammes de Voronoï de trois droites qui sont des partitions de l'espace en cellules bornées par des morceaux de quadriques. Nous montrons que la topologie de tels diagrammes est invariante pour des droites en positions générales et nous obtenons une propriété de monotonie sur les arcs des diagrammes. Nous en déduisons un algorithme simple pour ordonner des points le long de ces arcs, ce qui est vraisemblablement une avancée substantielle pour le développement futur d'algorithmes efficaces pour calculer l'axe médian de polyèdres. La technique de preuve, qui utilise fortement les outils modernes de calcul formel, est également intéressante en elle même.
Concernant les propriétés des droites de l'espace dans un contexte de visibilité tridimensionnelle, je présente un ensemble de résultats cohérents sur différentes problématiques. En premier lieu, je présente des résultats sur les propriétés structurelles des droites tangentes ou transversales à quatre primitives. Précisément, je présente une caractérisation des configurations dégénérées de quatre sphères qui admettent un nombre infini de tangentes communes, une caractérisation de l'ensemble des droites transversales à quatre segments, et une étude du nombre maximum de tangentes à quatre triangles. Je présente ensuite plusieurs résultats sur les propriétés combinatoires de structures géométriques de visibilité tridimensionnelle. En particulier, je présente plusieurs résultats importants sur la complexité des silhouettes de polyèdres depuis un point de vu aléatoire et sur la complexité en moyenne et dans le cas le pire du complexe de visibilité, une structure de données encodant des informations de visibilité. Je présente également de nouvelles bornes étonnantes sur la complexité dans le cas le pire de l'ombre portée sur un plan par une source lumineuse polygonale en présence d'obstacles polyédriques convexes. En dernier lieu, je présente le premier algorithme non trivial et implantable pour calculer l'ensemble des segments tangents à quatre parmi $k$ polyèdres convexes non nécessairement disjoints, c'est-à-dire, essentiellement les sommets du complexe de visibilité.
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