DIFFERENTIAL EQUATIONS IN GENERALIZED POWER SERIES FILEDS.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES À COEFFICIENTS DANS DES CORPS DE SÉRIES GÉNÉRALISÉES.
Résumé
We express the connection between the support of some equations and those of generalized series solutions. On the one hand we prove that any real power series solution of a sub-analytic differential equation belong to a lattice (i.e. an additive sub semi-group of positive reals). On the other hand we consider the field Mr of series with well-ordered support included in the Hahn product Hr with finite rank r (i.e. the lexicographic product of r copies of the reals). We equip Mr with a "Hardy type" derivation and define some well-ordered sets T1, ..., Tr such that : for all equation F(y,...,y(n))=0 with F in Mr[[Y0,...,Yn]] and whose support Supp F is a well-ordered subset of Hr, and for all solution y0 in Mr with v(y0(i))> (0,...,0) for i=0,...,n, then the exponents of y0 belong to a positive well-ordered subset of Hr obtained from Supp F, T1, ..., Tr by a finite number of elementary transformations.
Nous exprimons le lien entre le support de certaines équations et celui des séries généralisées solutions. D'une part nous prouvons que toute série de puissances réelles solution d'une équation différentielle sous-analytique a ses exposants appartenant à un réseau (i.e. un sous-semi groupe additif finiment engendré des positifs). D'autre part nous considérons le corps Mr des séries à support bien ordonné inclus dans le produit de Hahn Hr de rang fini r (i.e. le produit lexicographique de r copies des réels). Nous munissons Mr d'une dérivation "de type Hardy" et définissons des ensembles bien ordonnés T1, ..., Tr tels que : pour toute équation F(y,...,y(n))=0 avec F dans Mr[[Y0,...,Yn]] et dont le support Supp F est un sous-ensemble bien ordonné de Hr, et pour toute solution y0 de Mr avec v(y0(i))> (0,...,0) pour i=0,...,n, alors les exposants de y0 appartiennent à un sous-ensemble bien ordonné positif de Hr obtenu à partir de Supp F, T1, ..., Tr par un nombre fini de transformations élémentaires.
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