Action du groupe symétrique sur certaines fractions rationnelles suivi de Puissances paires du Vandermonde - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2009

Action of the symmetric group on some rational functions and even powers of the Vandermonde

Action du groupe symétrique sur certaines fractions rationnelles suivi de Puissances paires du Vandermonde

Résumé

The main purpose of this document is the symmetric group. In particular, we study the two following problems: First, the symmetric group acts naturally on the rational function $$ \psi_{12\dots n} = \frac{1}{(x_1 - x_2)(x_2-x_3)\dots(x_{n-1}-x_n)}, $$ by permuting the variables. With the help of some operations on the graphs, we give algorithms and combinatorial formulas allowing us to compute the reduced fraction $$ \Psi_P = \sum_{w \in \mathcal{L}(P)} \psi_w $$ where $P$ is a partially ordered set and $\mathcal{L}(P)$ is the set of the linear extensions of $P$. The author C. Greene has introduced these rational functions in the aim to generalize some identities related to the Murnaghan-Nakayama rules. We use these properties to give an original algorithm to perform partial decompositions of fractions with the help of graphs. In the second problem, we study the expansion of the even powers of the Vandermonde in several basis of symmetric functions. In this part, we give identities between symmetric functions and hyperdeterminants and we use them to obtain an hyperdeterminental expression of the coefficients in Schur's basis. We investigate also the relation between the even powers of the Vandermonde and Jack's functions. Finally, we introduce a $q$-déformation of the even powers of the Vandermonde and we relate it to some specialisations of Macdonald's polynomials.
L'objet de cette thèse concerne les propriétés du groupe symétrique à travers deux problèmes. Le premier consiste à étudier l'action du groupe symétrique sur la fraction $$ \psi_{12\dots n} = \frac{1}{(x_1 - x_2)(x_2-x_3)\dots(x_{n-1}-x_n)}. $$ En appliquant certaines opérations sur les graphes et les cartes, nous donnons des algorithmes et des formules combinatoires pour déterminer complètement la fraction réduite suivante: $$ \Psi_P = \sum_{w \in \mathcal{L}(P)} \psi_w $$ où $P$ est un ensemble partiellement ordonné et $\mathcal{L}(P)$ l'ensemble de ses extensions linéaires. L'auteur C. Greene a introduit cette fraction rationnelle pour généraliser des identités liées à la règle de Murnaghan-Nakayama. Nous utilisons $\Psi$ pour établir un nouvel algorithme de décomposition en éléments simples à l'aide des graphes. Dans la seconde partie, nous cherchons à développer les puissances paires du Vandermonde au moyen de fonctions symétriques. En particulier, nous proposons une écriture hyperdéterminantale des coefficients du développement des puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous obtenons plusieurs identités reliant les puissances paires du Vandermonde et les polynômes de Jack. Puis nous introduisons une $q$-déformation des puissances paires du Vandermonde que nous exprimons grâce aux polynômes de Macdonald.
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tel-00502471 , version 1 (15-07-2010)

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  • HAL Id : tel-00502471 , version 1

Citer

Adrien Boussicault. Action du groupe symétrique sur certaines fractions rationnelles suivi de Puissances paires du Vandermonde. Mathématiques [math]. Université Paris-Est, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00502471⟩
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