Phénomène d'explosion et existence globale pour quelques problèmes paraboliques sous les conditions au bord dynamiques - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

Blow-up and global existence for some parabolic problems under dynamical boundary conditions

Phénomène d'explosion et existence globale pour quelques problèmes paraboliques sous les conditions au bord dynamiques

Résumé

This thesis is about some parabolic problems under the dynamical boundary conditions. First, we consider the Burgers' Equation in a bounded domain of the real line. We study the properties of the solutions of this equation when the dynamical boundary are imposed on the boundary of the domain and when the initial data is non-negative. Following von Below & Mailly's results, and using comparison method (from von Below et De Coster), we investigate the growth order of the regular solutions when approaching the blow-up time, and the blow-up set of these solutions. The profile of the solutions are detailed for a special class of initial data, and some numerical examples are given to prove the necessity of our hypotheses. Then, we study the stationary solutions of Burgers' Equation, in which we add a real parameter lambda. Dealing with a phase plane methods, we show that there exist stationary solutions for many boundary conditions such as Dirichlet boundary conditions and Neumann boundary conditions (equivalent to the dynamical in the stationary case). Moving the parameter lambda, we observe a bifurcation is the phase plane, which deeply influences the existence results for the stationary solutions of Burgers' Equation for the considered boundary conditions. Using a technique based on appropriate L-1 norms, we show some results on global existence of the non-stationary solutions of the generalized Burgers' Equation in an unbounded real domain. Then, using comparisons, we deduce some non-existence results for the stationary solutions. Finally, we study the well-known Fujita phenomenon. With the comparison method (from von Below et De Coster), we show that this Fujita phenomenon, which is already known for the Dirichlet and Neumann boundary conditions, remains true under the dynamical boundary conditions. Adapting our technique, we also prove that the Fujita phenomenon is satisfied under the Robin boundary conditions.
Cette thèse porte sur l'étude de plusieurs problèmes paraboliques sous les conditions au bord dynamiques. On considère dans un premier une équation dite « de Burger » dans un domaine borné réel. On étudie les propriétés des solutions de cette équation lorsqu'on impose des conditions dynamiques sur le bord et lorsque la donnée initiale est positive. En s'inscrivant dans la lignée des résultats de J. von Below et G. Mailly, et en utilisant les méthodes de comparaison de J. von Below et C. De Coster, on s'intéresse à l'ordre de croissance et au point d'explosion des solutions régulières. Le profil de la solution est étudié en détails, et on donne des exemples numériques démontrant la nécessité de nos hypothèses de travail. Dans un second temps, on étudiera les solutions stationnaires de l'équation de Burger, dans laquelle on ajoute un paramètre lambda. A l'aide d'une méthode de plan des phases, on démontre l'existence de solutions stationnaires sous différentes conditions au bord, à savoir les conditions au bord de Dirichlet et de Neumann (coïncidant avec les dynamiques pour ce cas stationnaire). Nous observons qu'en faisant varier le paramètre lambda, on provoque une bifurcation dans le plan des phases, ce qui se traduit de profonds changements dans les résultats d'existence des solutions stationnaires de l'équation de Burger paramétrée sous les diverses conditions au bord considérées. Par le biais d'une technique basée sur l'étude de norme L-1 adéquates, nous démontrons des résultats d'explosion pour les solutions non-stationnaires de l'équation de Burger paramétrée lorsque l'on se place dans un domaine réel non-borné. Par comparaison, on en déduira des résultat de non-existence pour les solutions stationnaires. On clôt la thèse en étudiant le phénomène de Fujita. A l'aide es méthodes de comparaison de J. von Below et C. De Coster, on montre que ce phénomène de Fujita, dont la véracité est connue dans le cas des conditions de Dirichlet et de Neumann, reste vrai sous les conditions au bord dynamiques. En adaptant la technique développée, on prouvera que ce phénomène de Fujita est également vérifié pour les conditions au bord de Robin.
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Dates et versions

tel-00554915 , version 1 (11-01-2011)
tel-00554915 , version 2 (02-02-2011)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00554915 , version 1

Citer

Jean-François Rault. Phénomène d'explosion et existence globale pour quelques problèmes paraboliques sous les conditions au bord dynamiques. Mathématiques [math]. Université du Littoral Côte d'Opale, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00554915v1⟩
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