Schwarz Waveform Relaxation Methods for oceanographic equations
Méthodes de décomposition de domaine de type relaxation d'ondes pour des équations de l'océanographie
Résumé
The purpose of this work is to apply domain decomposition methods to some oceanographic equations. Classical domain decomposition methods treat stationary problems. We generalize in this work this method to the time dependent problems resulting in a Schwarz Waveform Relaxation method. This allows to simulate multiphysic problems with for example different time steps in each subdomain. The principle of this method is to write first the absorbing boundary conditions on the interfaces, then to approximate them by differential operators of order 1 in the normal direction to the interface and of order 0 or 1 in the tangential direction. We analyse first the convection diffusion equation : we approximate the exact operators by a Taylor development or by optimization of the convergence rate. We show that the such introduce subdomain problems are well posed and that the corresponding algorithm is convergent. Numerical results are implemented with or without overlap and illustrate the efficiency of the method. A first step towards coupling of equation is made in studying the coupling between the convection equation with the convection diffusion equation. Similarly to the domain decomposition method, we write transparent operators on the interface then we approximate them. Encouraging numerical results are obtained.
L'objectif de ce travail est de développer des algorithmes de décomposition de domaine pour des équations de l'océanographie. Les méthodes de décomposition de domaine consistent à décomposer un domaine de calcul de grand taille en plusieurs sous-domaines plus petits. Elles s'appliquaient jusqu'à présent à des problèmes stationnaires, nous généralisons ici ce type de méthodes aux problèmes en temps ('Schwarz Waveform Relaxation Methods'). Le principal but de cette nouvelle approche est de simuler des problèmes multiphysiques pour lesquels il est intéressant d'avoir une discrétisation temporelle différente dans chaque sous-domaine. Nous généralisons aux équations d'évolution une méthode récente qui consiste à écrire les conditions transparentes (Conditions aux Limites Absorbantes) puis les approche par des opérateurs différentiels d'ordre 1 dans la direction normale à l'interface et d'ordre 0 ou 1 dans la direction tangentielle. Nous développons cette méthode premièrement pour l'équation de convection diffusion qui traduit notamment l'advection des traceurs (température, salinité, traceurs passifs) dans l'océan. Nous approchons les opérateurs exacts par développement de Taylor, ou par optimisation du taux de convergence. Nous démontrons que les problèmes aux limites introduits sont bien posés. Puis nous montrons la convergence des algorithmes correspondants. Des résultats numériques sont implémentés dans le cas avec ou sans recouvrement et mettent en évidence la réelle efficacité des méthodes optimisées. Nous faisons ensuite un premier pas vers le couplage d'équations en implémentant un algorithme de couplage de l'équation de convection avec l'équation de convection diffusion. Ensuite nous traitons les équations de Saint Venant, moyennes verticales des équations de Navier-Stokes en milieu tournant. Nous introduisons pour ce système un algorithme de décomposition de domaine avec des conditions d'interface qui s'obtiennent par des considérations physiques. Nous montrons que cet algorithme est bien posé puis nous en démontrons la convergence. Des résultats numériques concluants sont également exposés.