Décomposition d'image par modèles variationnels : Débruitage et extraction de texture.
Résumé
This thesis is devoted in a first part to the elaboration of a second order variational model for image denoising, using the BV2 space of bounded hessian functions. We here take a leaf out of the well known Rudin, Osher and Fatemi (ROF) model, where we replace the minimization of the total variation of the function with the minimization of the second order total variation of the function, that is to say the total variation of its partial derivatives. The goal is to get a competitive model with no staircasing effect contrary to the ROF model. The model we study seems to be efficient, but generates a blurry effect. In order to deal with it, we introduce a mixed model that permits to get solutions with no staircasing and without blurry effect on details. In a second part, we take an interset in the texture extraction problem. A part is dedicated to the use of the ROF2 model in that case. To cope with its lack of efficiency, we propose to modify the model by making it anisotropic. This enables to clear geometric information out of the oscillating part of the image and, so, propose an efficient texture exctraction method. A model known as one of the most efficient is the TV-L1 model. It consits in replacing the L2 norm of the fitting data term with the L1 norm. We propose here an original way to solve this problem by the use of augmented Lagrangian methods. For the same reason as the denoising case, we also take an interest in the TV2-L1 model, replacing again the total variation of the function by the second order total variation. A mixed model for texture extraction is finally briefly introduced. This manuscript ends up with a huge chapter of numerical tests.
Cette thèse est consacrée dans un premier temps à l'élaboration d'un modèle variationnel de débruitage d'ordre deux, faisant intervenir l'espace BV2 des fonctions à hessien borné. Nous nous inspirons ici directement du célèbre modèle de Rudin, Osher et Fatemi (ROF), remplaçant la minimisation de la variation totale de la fonction par la minimisation de la variation totale seconde, c'est 'a dire la variation totale de ses dérivées. Le but est ici d'obtenir un modèle aussi performant que le modèle ROF, permettant de plus de résoudre le problème de l'effet staircasing que celui-ci engendre. Le modèle que nous étudions ici semble efficace, entraînant toutefois l'apparition d'un léger effet de flou. C'est afin de réduire cet effet que nous introduisons finalement un modèle mixte, permettant d'obtenir des solutions à la fois non constantes par morceaux et sans effet de flou au niveau des détails. Dans une seconde partie, nous nous intéressons au problème d'extraction de texture. Un modèle reconnu comme étant l'un des plus performants est le modèle TV-L1, qui consiste simplement à remplacer dans le modèle ROF la norme L2 du terme d'attache aux données par la norme L1. Nous proposons ici une méthode originale permettant de résoudre ce problème utilisant des méthodes de Lagrangien augmenté. Pour les mêmes raisons que dans le cas du débruitage, nous introduisons également le modèle TV2-L1, consistant encore une fois à remplacer la variation totale par la variation totale seconde. Un modèle d'extraction de texture mixte est enfin très brièvement introduit. Ce manuscrit est ponctué d'un vaste chapitre dédié aux tests numériques.