Mathematical Morphology: from Image Segmentation to Set-Valued Analysis - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 1994

## Morphologie Mathématique: de la Segmentation d'Images à l'Analyse Multivoque

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Laurent Najman

#### Abstract

The first part of this thesis investigates the watershed line, one of the fundamental tools developed by mathematical morphology to segment images. Characterization of this object for regular functions is given, and a convergence theorem of the associated algorithm is demonstrated. Links between the watershed lines and the Euclidean skeleton by influence zones (or Voronoi diagram), as well as the Eikonal equation used in shape from shading, are then highlighted. Algorithms for geodesic reconstruction and segmentation with anchor points are built on the principle of the watershed. Finally, a hierarchical segmentation algorithm based on a new principle of dynamics of contours, is developed. It provides a single image all the information of the gradient used for segmentation. The second part of this thesis applies the tools from mutational and set-valued analysis to mathematical morphology. Mutational derivative of the dilation tube is calculated, justifying rigorously the intuition that an object expands along its normal at each of its points. The algebraic and continuity properties of applications induced by differential inclusions and acting on closed sets are characterized. Finally, an optimization algorithm (called the Montagne Russe or rollercoaster), of a non-probabilistic nature, guaranteeing the convergence to a global minimum, is proposed.
La première partie de cette thèse étudie la ligne de partage des eaux, un des outils fondamentaux développés par la morphologie mathématique dans le but de segmenter des images. Une caractérisation de cet objet pour des fonctions régulières est donnée, et un théorème de convergence de l'algorithme associe est démontré. Les liens entre la ligne de partage des eaux et le squelette par zones d'influence euclidien (ou diagramme de voronoï), ainsi qu'avec l'équation eikonale utilisée en shape from shading sont ensuite mis en valeur. Des algorithmes pour la reconstruction géodésique et pour la segmentation avec points d'ancrage sont construits sur le principe de celui de la ligne de partage des eaux. Enfin, un algorithme de segmentation hiérarchique fonde sur un nouveau principe de dynamique des contours, est développé. Il permet d'obtenir dans une seule image toute l'information du gradient utilisable pour la segmentation. La deuxième partie de cette thèse applique des outils de l'analyse multivoque et mutationnelle a la morphologie mathématique. La dérivée mutationnelle du tube de dilatation est calculée, justifiant de manière rigoureuse l'intuition selon laquelle un objet se dilate suivant ses normales en chacun de ses points. Les propriétés algébriques et de continuité d'applications induites par des inclusions différentielles et agissant sur des ensembles fermés sont caractérisées. Enfin, un algorithme d'optimisation (l'algorithme des montagnes russes), de nature non probabiliste, garantissant la convergence vers un minimum global, est proposé.

### Dates and versions

tel-00742889 , version 1 (18-10-2012)

### Identifiers

• HAL Id : tel-00742889 , version 1

### Cite

Laurent Najman. Morphologie Mathématique: de la Segmentation d'Images à l'Analyse Multivoque. Systèmes dynamiques [math.DS]. Université Paris Dauphine - Paris IX, 1994. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00742889⟩

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