Parametric estimation of covariance function in Gaussian-process based Kriging models. Application to uncertainty quantification for computer experiments
Estimation paramétrique de la fonction de covariance dans le modèle de Krigeage par processus Gaussiens. Application à la quantification des incertitudes en simulation numérique
Résumé
The parametric estimation of the covariance function of a Gaussian process is studied, in the framework of the Kriging model. Maximum Likelihood and Cross Validation estimators are considered. The correctly specified case, in which the covariance function of the Gaussian process does belong to the parametric set used for estimation, is first studied in an increasing-domain asymptotic framework. The sampling considered is a randomly perturbed multidimensional regular grid. Consistency and asymptotic normality are proved for the two estimators. It is then put into evidence that strong perturbations of the regular grid are always beneficial to Maximum Likelihood estimation. The incorrectly specified case, in which the covariance function of the Gaussian process does not belong to the parametric set used for estimation, is then studied. It is shown that Cross Validation is more robust than Maximum Likelihood in this case. Finally, two applications of the Kriging model with Gaussian processes are carried out on industrial data. For a validation problem of the friction model of the thermal-hydraulic code FLICA 4, where experimental results are available, it is shown that Gaussian process modeling of the FLICA 4 code model error enables to considerably improve its predictions. Finally, for a metamodeling problem of the GERMINAL thermal-mechanical code, the interest of the Kriging model with Gaussian processes, compared to neural network methods, is shown
L'estimation paramétrique de la fonction de covariance d'un processus Gaussien est étudiée, dans le cadre du modèle de Krigeage. Les estimateurs par Maximum de Vraisemblance et Validation Croisée sont considérés. Le cas correctement spécifié, dans lequel la fonction de covariance du processus Gaussien appartient à l'ensemble paramétrique de fonctions de covariance, est d'abord traité dans un cadre asymptotique par expansion. Le plan d'expériences considéré est une grille régulière multidimensionnelle perturbée aléatoirement. Un résultat de consistance et de normalité asymptotique est montré pour les deux estimateurs. Il est ensuite mis en évidence que des amplitudes de perturbation importantes sont toujours préférables pour l'estimation par Maximum de Vraisemblance. Le cas incorrectement spécifié, dans lequel l'ensemble paramétrique utilisé pour l'estimation ne contient pas la fonction de covariance du processus Gaussien, est ensuite étudié. Il est montré que la Validation Croisée est alors plus robuste que le Maximum de Vraisemblance. Enfin, deux applications du modèle de Krigeage par processus Gaussiens sont effectuées sur des données industrielles. Pour un problème de validation du modèle de frottement pariétal du code de thermohydraulique FLICA 4, en présence de résultats expérimentaux, il est montré que la modélisation par processus Gaussiens de l'erreur de modèle du code FLICA 4 permet d'améliorer considérablement ses prédictions. Enfin, pour un problème de métamodélisation du code de thermomécanique GERMINAL, l'intérêt du modèle de Krigeage par processus Gaussiens, par rapport à des méthodes par réseaux de neurones, est montré
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