Some problems of geometrical analysis in almost complex manifolds with boundary.
Quelques problèmes d'analyse géométrique dans les variétés presque complexes à bord.
Résumé
We study the real analyticity of a CR mapping between two hypersurfaces in almost complex manifolds. We prove that a CR mapping defined on the boundary of a model domain is real analytic. We also prove that a CR mapping is real analytic when the almost complex structure of the codomain is a deformation of a model structure and when the hypersurfaces are small deformation of the hypersurface ∂h defined by ∂h={z∈Cⁿ,RE(zₙ)+|z'|²=0}. We make use of a method of prolongation for the tangential Cauchy-Riemann equations and a result about complete systems. Then, we use the previous result to extend the Poincaré-Alexander Theorem in the almost complex case. The Poincaré-Alexander Theorem states that holomorphic mappings defined on an open subset of the unit ball of Cⁿ may, under certain conditions, be extended to a biholomorphism of the unit ball. In a complex manifold, every strongly pseudoconvex homogeneous domain is biholomorphic to the unit ball. In an almost complex manifold, the unit ball is not the only strongly pseudoconvex homogeneous domain. A strongly pseudoconvex homogeneous domain is biholomorphic to a model domain. We extend the Poincaré-Alexander Theorem theorem to model domains. Finally, we define J-quasiconformal mappings and we prove that open sets and totally real submanifolds of the boundary are unicity sets for J-quasiconformal mappings. We also prove that a J-quasiconformal mapping admitting zero limits at every point of a totally real submanifold of the boundary is identically zero.
Nous étudions d'abord l'analyticité des applications CR entre deux hypersurfaces dans des variétés presque complexes. Nous démontrons l'analyticité d'une telle application dans deux cas distincts : premièrement dans le cas où les hypersurfaces de départ et d'arrivée sont le bord d'un domaine modèle et la structure presque complexe est une structure modèle, deuxièmement dans le cas où la structure presque complexe d'arrivée est une déformation d'une structure modèle et lorsque les hypersurfaces sont des petites perturbations de l'hypersurface ∂h définie par ∂h={z∈Cⁿ,RE(zₙ)+|z'|²=0}. La preuve utilise la méthode de prolongation des systèmes d'équations aux dérivées partielles ainsi que la théorie des systèmes complets. Nous appliquons ensuite ces résultats pour généraliser le Théorème de Poincaré-Alexander au cas presque complexe. Le Théorème de Poincaré-Alexander stipule qu'une application holomorphe définie sur un ouvert de la boule unité de Cⁿ peut, sous certaines conditions, être prolongée en un biholomorphisme de la boule unité. Dans le cadre presque complexe, la boule unité n'est plus, à biholomorphisme près, le seul domaine strictement pseudoconvexe et homogène. Un domaine strictement pseudoconvexe et homogène est biholomorphe à un domaine modèle. Nous donnons ainsi une genéralisation du Théorème de Poincaré-Alexander pour les domaines modèles. Enfin, nous définissons les applications J-quasiconformes et démontrons que les ouverts et les sous variétés totalement réelles incluses dans le bord du domaine constituent des ensembles d'unicité pour les applications J-quasiconformes. Nous démontrons aussi qu'une application J-quasiconforme qui admet des limites nulles en tout point d'une sous-variété totatemement réelle incluse dans le bord du domaine est identiquement nulle.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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