Quelques contributions à la Théorie univariée des Valeurs Extrêmes et Estimation des mesures de risque actuariel pour des pertes à queues lourdes
Résumé
This thesis is divided into five chapters with an additional introduction and a conclusion. In the first chapter, we recall some basics on extreme value theory. In the second chapter, we consider a statistical processes depending on a continuous time tau and whose any margin can arise as a Generalized Hill's estimator.. This statistical process allows to discriminate completely the extremevalues domain of attraction. The asymptotic normality of this statistical processes was only given for tau > 1/2. We complete this study for 0 < tau < 1/2, and we give an approximation to the domain of attraction of Gumbel and Fréchet. Simulation studies carried out with the " R "software, can show the performance of these estimators. As an illustration, we propose an application of our methodology for hydraulic data. In the third chapter, we extend the study of the previous statistical processes to a functional framework. We propose a stochastic processes depending on a positive functional to obtain a large class of estimators of extreme values index which each estimator is a marginal one stochastic processes. The theoretical study of these stochastic process that we lead is based on the modern theory of functional weak convergence, which handle more complex estimatorsin the form of stochastic processes. We give the asymptotic distributions functions of these processes and we show that for some class, we have a non Gaussian asymptotic behavior, which will be fully characterized. In the fourth chapter, we are interested in the estimation of the second order parameter. Note that this parameter is of primordial importance in the adaptive choice of the best number of upper order statistics to be considered in the estimation of the extreme-value index. The estimation of the second order parameter can also be used to propose bias reduced estimators of the extreme value index, and has received a lot of attention in the extreme-value literature.. We propose a simple and general approach to estimate the second order parameter. It is shown that many estimators in the extreme-value literature can be read as particular cases of our approach. We illustrate how a lot of new asymptotically Gaussian estimators can be derived from this framework. Finally, some estimators are compared both from the asymptoticfinite sample size performances points of view. As an illustration, we propose a case study in the field of insurance. In the last chapter, we are interested in the actuarial risk premiums for some phenomena generating very significant financial losses (or extreme phenomenas). Many Risk measures or premium calcutation principles have been proposed in the actuarial literature. We focus on the adjusted risk premium.. Jones et Zitikis (2003) gave an estimate of the adjusted risk premium based on the empirical distribution and have established its asymptotic normality undersome appropriate conditions, and which are not fulfilled in the case of heavy-tailed distributions (case of extreme phenomena). we look at this framework and we consider a family of estimators of the ajusted risk premium based on the extreme values theory approach. We establish their asymptotic normality and we propose also an approach to bias reduction for these estimators. A simulation study is used to evaluate the quality of our estimators. As an illustration, we propose an application on real data insurance.
Cette thèse est divisée en cinq chapitres auxquels s'ajoutent une introduction et une conclusion. Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques notions de base sur la théorie des valeurs extrêmes. Dans le deuxième chapitre, nous considérons un processus statistique dépendant d'un paramétre continu tau et dont chaque marge peut être considérée comme un estimateur de Hill généralis.. Ce processus statistique permet de discriminer entièrement les domaines d'attraction des valeurs extrêmes. La normalité asymptotique de ce processus statistiquea été seulement donnée pour tau > 1/2. Nous complétons cette étude pour 0 < tau< 1/2, en donnant une approximation des domaines de Gumbel et de Fréchet. Des études de simulations effectuées avec le logiciel " R ", permettent de montrer la performance de ces estimateurs. Comme illustration, nous proposons une application de notre méthodologie aux données hydrauliques. Dans le troisième chapitre, nous étendons l'étude du processus statistique précédent dans un cadre fonctionnel. Nous proposons donc un processus stochastique dépendant d'une fonctionnelle positive pour obtenir une grande classe d'estimateurs de l'indice des valeurs extrêmes dont chaque estimateur est une marge d'un seul processus stochastique. L'étude théorique de ces processus stochastiques que nous avions menée, est basée sur la théorie moderne de convergence vague fonctionnelle. Cette dernière permet de gérer des estimateurs plus complexes sous forme de processus stochastiques. Nous donnons les distributions asymptotiques fonctionnelles de ces processus et nous montrons que pour certaines classes de fonctions, nous avons un comportement asymptotique non Gaussien et qui sera entièrement caractérisé. Dans le quatrième chapitre, on s'intéresse à l'estimation du paramètre du second ordre. Notons que ce paramètre joue un rôle très important dans le choix adaptatif du nombre optimal de valeurs extrêmes utilisé lors de l'estimation de l'indice des valeurs extrêmes. L'estimation de ce paramètre est également utilisée pour la réduction du biais des estimateurs de l'indice de queue et a reçu une grande attention dans la littérature des valeurs extrêmes .Nous proposons une simple et générale approche pour estimer le paramètre du second ordre, permettant de regrouper un grand nombre d'estimateurs. Il est montré que les estimateurs cités précedemment peuvent être vus comme des cas particuliers de notre approche. Nous tirons également parti de notre formalisme pour proposer de nouveaux estimateurs asymptotiquement Gaussiens du paramètre du second ordre. Finalement, certains estimateurs sont comparés tant du point de vue asymptotique que performance sur des échantillons de tailles finies. Comme illustration, nous proposons une application sur des données d'assurance. Dans le dernier chapitre, on s'intéresse aux mesures de risque actuariel pour des phénomènes capables d'engendrer des pertes financières très importantes (ou phenomènes extrêmes c'est-à-dire à des risques dont on ne sait pas si le système d'assurance sera capable de les supporte). De nombreuses mesures de risque ou principes de calcul de la prime ont été proposés dans la littérature actuarielle. Nous nous concentrons sur la prime de risque-ajustée. Jones et Zitikis (2003) ont donné une estimation de cette dernière basée sur la distribution empirique et ont établi sa normalité asymptotique sous certaines conditions appropriées, et qui ne sont pas souvent remplies dans le cas des distributions à queues lourdes. Ainsi, nous regardons ce cadre là et nous considérons une famille d'estimateurs de la prime de risque-ajustée basée sur l'approche de la théorie des valeurs extrêmes. Nous établissons leur normalité asymptotique et nous proposons également une approche de réduction de biais pour ces estimateurs. Des études de simulation permettent d'apprécier la qualité de nos estimateurs. Comme illustration, nous proposons une application sur des données d'assurance.
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