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Thèse Année : 2015

CONSTRUCTION OF SOLUTIONS TO THE EINSTEIN CONSTRAINT EQUATIONS IN GENERAL RELATIVITY AND COMMENTS ON THE POSITIVE MASS THEOREM

CONSTRUCTION DE SOLUTIONS POUR LES ÉQUATIONS DE CONTRAINTES EN RELATIVITÉ GÉNÉRALE ET REMARQUES SUR LE THÉORÈME DE LA MASSE POSITIVE

Résumé

The aim of this thesis is the study of two topical issues arising from general relativity: finding initial data for the Cauchy problem with respect to the Einstein equations and the positive mass theorem. For the first issue, in the context of the conformal method introduced by Lichnerowicz [Lichnerowicz, 1944], Y. Choquet-Bruhat–J. York [Choquet-Bruhat et York, 1980] and Y. Choquet-Bruhat–J. Isenberg–D. Pollack [Choquet-Bruhat et al., 2007a], we consider the conformal constraint equations on compact Riemannian manifolds of dimension n > 3. In this thesis, we simplify the proof of [Dahl et al., 2012, Theorem 1.1], extend and sharpen the far-from CMC result proven by Holst– Nagy–Tsogtgerel [Holst et al., 2009], Maxwell [Maxwell, 2009] and give an unifying viewpoint of these results. Besides discussing the solvability of the conformal constraint equations, we will also show nonexistence and nonuniqueness results for solutions to the conformal constraint equations under certain assumptions. For the second one, we are interested in studying the positive mass theorem on asymptotically hyperbolic manifolds. More precisely, we prove that positivity of the mass of an asymptotically hyperbolic manifold is kept under a finite sequence of surgeries of codimension at least 3. As a consequence, we extend one of main results of Humbert–Hermann [Humbert et Herman, 2014, Theorem 8.5] to asymptotically hyperbolic manifolds, that is the positivity of the mass holds on all asymptotically hyperbolic manifolds of dimension n > 5, provided it is so on a single simply connected non-spin asymptotically hyperbolic manifold of the same dimension. This thesis is mainly self-contained except for minimum background in Geometric Analysis.
Dans cette thèse nous étudions deux problèmes issus de la relativité générale : la construction de données initiales pour le problème de Cauchy des équations d’Einstein et le théorème de la masse positive. Nous construisons tout d’abord des données initiales en utilisant la méthode dite conforme introduite par Lichnerowicz [Lichnerowicz, 1944], Y. Choquet-Bruhat–J. York [Choquet-Bruhat et York, 1980] et Y. Choquet-Bruhat–J. Isenberg– D. Pollack [Choquet-Bruhat et al., 2007a]. Plus particulièrement, nous étudions les équations –de contrainte conforme– qui apparaissent dans cette méthode sur des variétés riemanniennes compactes de dimension n > 3. Dans cette thèse, nous donnons une preuve simplifiée du résultat de [Dahl et al., 2012], puis nous étendons et nous généralisons les théorèmes de M. Holst–G. Nagy–G. Tsogtgerel [Holst et al., 2009] et de D. Maxwell [Maxwell, 2009] dans le cas de données initiales à courbure moyenne fortement nonconstante. Nous donnons au passage un point de vue unifié sur ces résultats. En parallèle, nous donnons des résultats de non-existence et de non-unicité pour les équations de la méthode conforme sous certaines hypothèses. Pour le second problème, nous étudions le théorème de la masse positive sur des variétés asymptotiquement hyperboliques. Plus précisément, nous montrons que la positivité de la masse sur une variété asymptotiquement hyperbolique est préservée par les chirurgies de codimension au moins 3. Par conséquent, nous étendons l’un des résultat principaux de l’article d’E. Humbert et A. Hermann [Humbert et Herman, 2014] aux variétés asymptotiquement hyperboliques en montrant que le théorème de la masse positive est vrai sur les variétés asymptotiquement hyperboliques de dimension n > 5 pourvu qu’il le soit pour une seule variété asymptotiquement hyperbolique simplement connexe non spin de dimension n. Cette thèse ne requière aucune connaissance particulière hormis un bagage minimal en analyse géométrique.
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Dates et versions

tel-01245248 , version 1 (16-12-2015)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01245248 , version 1

Citer

The-Cang Nguyen. CONSTRUCTION OF SOLUTIONS TO THE EINSTEIN CONSTRAINT EQUATIONS IN GENERAL RELATIVITY AND COMMENTS ON THE POSITIVE MASS THEOREM. Differential Geometry [math.DG]. Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique, Université de Tours, 2015. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01245248⟩
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